 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Нелинейного программирования
Для решения задачи нелинейного программирования было предложено много методов, которые можно классифицировать по различным признакам. По количеству локальных критериев в целевой функции методы нелинейного программирования делятся на: · однокритериальные · многокритериальные Методы нелинейного программирования делятся, по наличию ограничений, на: · метод без ограничений (безусловная оптимизация), · метод с ограничениями (условная оптимизация). По типу информации, используемой в алгоритме поиска экстремума, методы делятся на: · методы прямого поиска, т.е. методы, в которых при поиске экстремума целевой функции используются только ее значения; · градиентные методы первого порядка, в которых при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных; · градиентные методы второго порядка, в которых при поиске экстремума функции наряду с первыми производными используются и вторые производные. Задача нелинейного программирования в общем виде формулируется так: максимизировать f ( x1, x2,…, xn ) при ограничениях g1 ( x1, x2, … ,xn )≥0 g2 ( x1, x2, … ,xn )≥0 ……………………… gm ( x1, x2, … ,xn )≥0 где функции f ( x1, x2,…, xn ) gi ( x1, x2, … ,xn )≥0
нелинейные. Применение метода Лагранжа Для решения задач условной оптимизации Нелинейные задачи часто упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных. Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, лишь к некоторым видам нелинейных задач. Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа (множители Лагранжа): найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи (это определяется так называемыми условиями Куна-Таккера). Теорема 1. (существование экстремума): Если f ( x1, x2,…, xn ) непрерывная функция, определенная на замкнутом и ограниченном множестве, то она достигает на этом множестве, по крайней мере один раз, своих максимального и минимального значений. Теорема 2: Если f ( x1, x2,…, xn ) является непрерывной функцией нескольких переменных, определенной на допустимом множестве R, то максимальное значение этой функции, если оно существует, достигается в одной или нескольких точках, которые принадлежат одному из следующих множеств: 1) S1 - множество стационарных точек; 2) S2 - множество точек границы; 3) S3 - множество точек, где функция не дифференцируема. Функция f(x) достигает локального максимума в точке x0= (x10, x20, …, xn0), если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки [x10, x20, …, xn0] имеет место неравенство f(x10, x20, …, xn0) ≥ f ( x1, x2,…, xn ) Функция f(x) достигает глобального (абсолютного) максимума в точке x0, если для всех точек x ϵ R справедливо неравенство f(x0) ≥ f(x) Градиентные методы решения Задач безусловной оптимизации Идея градиентного метода поиска экстремума функции предложена в 1847 году Коши. Алгоритм нахождения: выбирается начальная (стартовая) точка (начальное приближение в виде набора произвольных значений неизвестных) и вычисляется градиент (начальные производные целевой функции в диапазоне этой точки), который определяет шаг и направление движения в следующую точку для улучшения целевой функции. В следующих точках эта процедура повторяется, пока эти производные не станут нулевыми, что говорит о достижении экстремума. Понятие градиента Любую совокупность вещественных чисел (v1, v2, … , vk), взятых в определенном порядке, можно рассматривать как точку или вектор с теми же координатами в пространстве k измерений (k-мерном пространстве). Запись вида v = (v1, v2, … , vk) обозначает точку или вектор v с указанными в скобках координатами. Если для k-мерных векторов v и w справедливы основные алгебраические операции: сложение и вычитание v ± w = (v1 ± w1, v2 ± w2 , … , vk ± wk), умножение на действительное число d d × v = (d × v1, d × v2, … , d × vk), скалярное произведение v × w = (v1 × w1, v2 × w2, … , vk × wk), то совокупность всех таких векторов называют k-мерным евклидовым пространством и обозначают Ek. Длиной вектора v называют число, определяемое по формуле
Длину вектора можно вычислить только тогда, когда компоненты вектора представлены в одной шкале измерений или они являются безразмерными величинами. Если произведение v × w = 0 при |v| ≠ 0 и |w| ≠ 0, то векторы v и w являются ортогональными. Единичным называют вектор, определяемый по формуле t=(t1, t2, …, tk)=
Пусть в Ek заданы некоторая точка v = (v1, v2, … , vk), единичный вектор t и непрерывно дифференцируемая по всем аргументам функция f(V) = f(v1, v2, … , vk).Производной в точке V от функции f(V) по направлению луча, определяемому вектором t, называется предел
или
Градиентом функции f(V) называют вектор ∆f(V) с координатами, равными частным производным по соответствующим аргументам
Градиент указывает направление наибольшего возрастания функции. Противоположное направление –∆f(V) называется антиградиентом, оно показывает направление наискорейшего убывания функции. В точке экстремума V* градиент равен нулю ∆f(V*)= 0. Если аналитически производные определить невозможно, их вычисляют приближенно ∆f(V) / ∆vi = ∆f(V) / ∆vi, где ∆f(V) – приращение функции f(V) при изменении аргумента на величину ∆vi. Двигаясь по градиенту (антиградиенту) можно достичь максимума (минимума) функции. В этом и состоит сущность градиентного метода оптимизации. |
i=1,m
