ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Основные числовые характеристики непрерывных сл. величин.

1 2 3 45

Мат. ожидание непр. сл. величины:

Дисперсия непрерывной случайной величины:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины: σ(X) = √D(X)

Мода непрерывной случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду - находим экстремум (максимум) плотности вер-сти f(x).

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.

Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) на практике встречается чаще всего. В природе и различных областях человеческой деятельности весьма распространены случайные величины, которые представляют собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин. Распределения таких случайных величин большей частью бывают неизвестны и в то же время они хорошо аппроксимируются нормальным распределением. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т. д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Нормальный закон распределения говорит о том, что случ. величина может принимать любые значения, и они появляются с различной частотой, но средние и близкие к ним встречаются наиболее часто. По мере удаления от среднего значения случ. величина встречается все реже (плотность распределения падает). График закона нормального распределения – имеет холмообразный вид, симметричен относительно прямой х = М_Х.

Например, по нормальному распределению распределен рост людей, находящихся одновременно в большой аудитории. А именно: достаточно мало людей очень большого роста, и столь же мала вероятность встретить людей очень малого роста. В основном, легче встретить людей среднего роста — и вероятность этого велика.

Нормальное распределение имеет плотность вероятности ,

где a – мат.ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение, т.е. σ²-дисперсия.

График нормального распределения имеет куполообразную форму, он симметричен относительно своего мат. ожидания, а на степень его островершинности влияет величина среднего квадратичного отклонения σ.

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения равны:
As(X) = 0; Ex(X) = 0; Mo(X) = Me(X) = a, где а - математическое ожидание.

Поскольку интеграл от функции плотности вероятности не берется, то используют ф-ю Лапласа , поскольку для нее составлены таблицы (Эти таблицы есть в учебниках в приложениях, в частности, в книге Крамера).

Геом.смысл ф-ции Лапласа – это площадь под куполообразной стандартной кривой нормального з-на распределения на промежутке [-х, х]. (как на предыд. рисунке)

Функция распределения сл.величины Х (распределенной по норм. з-ну) выражается через ф-ю Лапласа т.о. .

Геом.смысл ф-ции распределения это площадь под куполообразной кривой нормального з-на распределения на промежутке (-∞, х).

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с мат. ожиданием а=15 и средним квадр. отклонением σ=5. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 30).

Вероятность того, что нормально распределенная сл. величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), равна: