 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Анализ с конца - поиск выигрышных позиций
При чтении предыдущего раздела могло появиться ощущение, что поиск выигрышных позиций основан лишь на интуиции, а поэтому, как правило, непрост. Сейчас мы опишем общий метод, позволяющий найти выигрышные позиции во многих играх. Вернемся к задаче про короля из примера 14. Попробуем найти выигрышные позиции исходя из их свойств. Как всегда, завершающая позиция игры (король стоит на h8) — выигрышная. Поэтому в клетку h8 поставим «+». Так же мы будем отмечать все найденные выигрышные позиции. В клетках, соответствующих проигрышным позициям, будем ставить «—». Так как позиции, из которых король может за один ход попасть на выигрышное поле h8, — проигрышные, то возникает расстановка, изображенная на следующем по порядку рисунке. С полей h6 и f8 за один ход можно попасть только на проигрышные поля. В этих клетках нужно поставить «+» - они выигрышные. Только что полученные выигрышные позиции порождают набор новых проигрышных позиций - h5, g5, g6, f7, e7, e8. Продолжим анализ далее. После получения очередного набора минусов отмечаем плюсом те поля, из которых каждый ход ведет в проигрышную позицию. После этого отмечаем минусом те поля, из которых существует хотя бы один ход в выигрышную ситуацию.
В итоге плюсы и минусы будут расставлены так, как на последнем рисунке. Примечание. Только что описанный метод нахождения выигрышных позиций называется «анализом с конца».
Геометрические задачи Пример 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол в 19° на 19 равных частей. Решение. Ясно, что задача сводится к построению угла в 1°, далее все просто. Заметим, что 19 х 19 = 361, то есть сумма девятнадцати углов в 19° есть окружность плюс 1°. Сложение углов при помощи циркуля и линейки является стандартной, хорошо решаемой задачей. Получив угол в 1°, далее отложим этот угол девятнадцать раз и получим угол в 19°. Задача решена. Эта задача И. И. Александрова на построение встречается, например, в сборнике подготовительных задач XXXI московской математической олимпиады. Ее можно встретить и во многих изданиях последних лет. При решении задач с треугольниками школьники очень часто сбиваются на построение правильных или равнобедренных треугольников для того, чтобы получить решение задачи для частного случая. Такой подход не всегда себя оправдывает. Примечание. И. Ф. Шарыгину принадлежит идея построения «произвольного» треугольника. Такой треугольник должен: 1) хорошо строиться; 2) не давать частных случаев решения задачи, например особенностей в соотношениях между элементами треугольника (к слову, высота, проведенная из одной вершины, не может оказаться равной медиане, проведенной из другой вершины). Таким треугольником является треугольник с углами в 45°, 60° и 75°. Хорошо известна задача о делении произвольного треугольника на 4, 9, ..., п2 равных треугольников. Для того чтобы разделить треугольник на 4 равные части, в нем просто нужно провести три средних линии. Пример 2. Нарисовать треугольник, который можно разделить на 5 равных треугольников. Решение. Очевидно, что треугольник можно разделить на 4 равные части. Далее к этому треугольнику требуется «приставить» его четвертую часть; при этом снова должен получиться треугольник. Это возможно только в том случае, когда треугольник является прямоугольным, ведь только тогда сумма двух прямых углов даст развернутый угол (отрезок, который является стороной треугольника, при этом будет суммой сторон большого треугольника и его «четвертушки»).
прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза длиннее другого.
Приведем примеры задач, которые вообще не требуют расчетов. (В примере 2 мы складывали 4 и 1.) Пример 3. Доказать, что никакая фигура не может иметь ровно два центра симметрии. Решение. Доказательство основывается на том факте, что точка, симметричная одному центру симметрии относительно другого, также является центром симметрии. Пример 4. Разрезать произвольный треугольник на три части, из которых можно составить прямоугольник. Решение. Для решения задачи необходимо разрезать треугольник по средней линии, а отрезанный треугольник еще и по высоте. Сложение получившихся частей в прямоугольник не составляет труда. Следующая задача встречается у И. Ф. Шарыгина. Пример 5. Имеется несколько кирпичей. Необходимо, не используя теорему Пифагора, при помощи линейки определить длину наибольшей диагонали кирпича. Решение. Решение задачи представлено на рисунке. Необходимо сложить три кирпича и измерить расстояние между точками А и В. Это диагональ несуществующего кирпича.
Неравенство треугольника Отдельного разговора требуют геометрические задачи с неравенствами. Неравенство треугольника — самое фундаментальное геометрическое неравенство, недаром его учат в школе. Именно поэтому полезно выяснить у школьников, знают ли они его, решали ли задачи на его применение. Конечно, необходимо напомнить о том, что кратчайшим путем между двумя точками является отрезок прямой. Итак, неравенство треугольника: для произвольного треугольника ABC: AB < ВС + АС. Сформулируем необходимые для нас теоремы. Теорема 1. Для любых трех точек А, В и С на плоскости АС > |АВ - ВС|. Доказательство этой теоремы не представляет сложности. Примечание. Сформулировав теорему, дадим ее очевидное геометрическое истолкование: длина любой стороны треугольника не меньше модуля разности длин двух других сторон. Теорема 2. Длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра. Примечание. Один из самых распространенных способов доказательства геометрических неравенств состоит в том, что применяется неравенство треугольника, возможно, с использованием некоторых дополнительных соображений. Пример 7. Длина стороны АС треугольника ABC равна 3,7, длина стороны АВ — 0,5. Известно, что длина ВС — целое число. Какова эта длина? Решение. По теореме 1 3,7 > |0,5 — ВС|, однако ВС — число натуральное, поэтому 3,7 > ВС — 0,5, откуда ВС < 4,2. Далее ясно, что ВС = 4. Подумайте, почему ВС не может равняться трем. Пример 8. Найти внутри выпуклого четырехугольника такую точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна. Решение. Поскольку четырехугольник выпуклый, его диагонали пересекаются в точке О. Обозначим вершины четырехугольника через А, В, С и D. Тогда сумма расстояний от О до вершин равна сумме длин диагоналей АС и BD. Но для любой другой точки Р РА + PC > АС по неравенству треугольника, и, аналогично, РВ + PD > BD. Значит, сумма расстояний от Р до вершин не меньше АС + BD, и, очевидно, что эта сумма равна АС + BD, только если Р совпадает с точкой О. Значит, точка О — искомая. |
Покажем на рисунке решение задачи. Необходимо нарисовать