 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Метод математической индукции
Общие и частные утверждения. Дедукция и индукция. Индукция как переход от частных утверждений к общим. Метод полной математической индукции в настоящее время не находит своего места в школьных учебниках. Между тем этот метод играет существенную роль в высшей математике, являясь сильным орудием в математических доказательствах. Именно этот метод позволяет коротко и абсолютно строго доказывать многие теоремы. Требование полноты доказательства является одним из ведущих в современной математике. На самом деле при п = 1, 2, 3, 4 число
Проверим еще несколько следующих значений (скажем, п = 5, 6, 7, 8, 9, 10) — число тоже оказывается простым. Но можно ли отсюда
Очевидно, нельзя: такое заключение было бы логически необоснованным. Более того, оно и неверно: легко убедиться, что при п = 16 это число равно 172, т. е. не является простым. Игры Дети любят играть! Поэтому, особенно у школьников младших классов, большой интерес вызывают задачи-игры. С их помощью преподаватель может внести в занятие элемент развлечения: устроить турнир, сеанс одновременной игры, наконец, просто дать детям поиграть. Вспомните, с каким интересом в игре «Форт Баярд» дети следят за процессом вытягивания палочек, зная условия игры. В то же время такие задачи содержательны. Достаточно рассказать, что в игре «крестики-нолики» при правильной игре всегда достигается ничейный результат (см. [5], где излагается полная теория игры). При изложении решения игровых задач школьники испытывают большие трудности. Ведь необходимо, во-первых, грамотно сформулировать стратегию, а во-вторых, доказать, что она действительно ведет к выигрышу. Поэтому задачи-игры очень полезны для развития разговорной математической культуры и четкого понимания того, что означает «решить задачу». Во всех встречающихся играх предполагается, что играют двое, ходы делаются по очереди (игрок не может пропускать ход). Ответить всегда нужно на один и тот же вопрос — кто побеждает: начинающий (первый) игрок или его партнер (второй)? В дальнейшем это оговариваться не будет. Примечание. Отметим для преподавателей, что перед объяснением решения задачи-игры необходимо учащимся дать (если это возможно) возможность поиграть в предлагаемую игру. Игры-шутки Первый класс игр, о которых пойдет речь, — игры-шутки. Это игры, исход которых не зависит от того, как играют соперники. Поэтому для решения такой игры-задачи не нужно указывать выигрышную стратегию. Достаточно лишь доказать, что выигрывает тот или иной игрок (независимо от того, как будет играть!). Начнем с игры, в которую играли в ближайшем к моему дому гастрономе два соседских мальчишки 10—12 лет. Пример 1. Двое ломают шоколадку 6х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигравший игрок покупает сопернику шоколадку. Примечание. Я не один день наблюдал за мальчишками. Одному из них все время не везло — он играл «вторым номером». Через несколько дней я удивился: он, играя «вторым номером», начал стабильно выигрывать. Оказалось, что с некоторого дня он предложил покупать шоколадку 5x7, мотивируя свое предложение тем, что такие шоколадки дешевле. Решение. После каждого хода число кусков шоколадки увеличивается на единицу. Ломая шоколадку 6x8, мы из одного куска после некоторого числа ходов получим 48 кусочков. Всего будет сделано 47 ходов, это говорит о том, что последний ход (нечетный) сделает начавший игру. Ломая шоколадку 5x7, мы из одного куска после некоторого числа ходов получим 35 кусочков. Всего будет сделано 34 хода, это говорит о том, что последний ход (четный) сделает второй игрок. Симметрия Пример 5. Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Решение. В этой игре выигрывает первый игрок, независимо от размеров и формы стола! Первым ходом он кладет монету так, чтобы ее центр и центр симметрии стола совпали. После этого на каждый ход своего противника отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, он побеждает. Примечание 1. В случае, когда симметричность многовариантна, для решения задачи нужно правильно выбрать центр или ось симметрии. Продемонстрируем это на примере следующей задачи. Примечание 2. При доказательстве правильности симметричной стратегии нельзя забывать о том, что очередному симметричному ходу может помешать ход, только что сделанный противником. Чтобы решить игру-задачу при помощи симметричной стратегии необходимо найти симметрию, при которой только что сделанный противником ход не препятствует осуществлению избранного плана. Пример 6. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Решение. 1) Поскольку шахматная доска симметрична относительно своего центра, то естественно попробовать симметричную стратегию. Но на этот раз (первым ходом нельзя поставить слона в центр доски) симметрию может поддерживать второй игрок. Казалось бы, по аналогии с предыдущей задачей, это и есть выигрышная стратегия. Однако, следуя ей, второму игроку не удастся сделать даже свой первый ход! Слон, только что поставленный первым игроком, может бить центрально-симметричное поле. 2) Решение поставленной задачи легко осуществить, применяя не центральную, а осевую симметрию шахматной доски. За ось симметрии можно взять прямую, разделяющую, например, четвертую и пятую горизонтали. Симметричные относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Итак, в этой игре выигрывает все-таки второй игрок.
Выигрышные позиции Достаточно большое число задач-игр требуют анализа. Рассмотрим задачи, в которых к выигрышу приводят так называемые выигрышные позиции. Пример 13. Ладья стоит на поле al. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.
В этой игре побеждает второй игрок. Его стратегия очень проста: каждым своим ходом он возвращает ладью на большую диагональ al-h8. Объясним, почему, играя так, второй игрок выигрывает. Дело в том, что первый игрок любым своим ходом вынужден будет уводить ладью с этой диагонали, а второй игрок после этого будет иметь возможность вернуть ладью на линию al-h8. Так как поле h8 принадлежит диагонали, то на него сумеет встать именно второй игрок. Анализ решения Нам удалось выделить класс выигрышных позиций (ладья стоит на одной из клеток диагонали al-h8), обладающих следующими свойствами: 1) завершающая позиция игры — выигрышная; 2) за ход нельзя из одной выигрышной позиции попасть в другую; 3) из любой невыигрышной позиции за один ход можно попасть в какую-либо выигрышную. Нахождение такого класса выигрышных позиций для игры равносильно ее решению. Действительно, к победе ведет стратегия — ходи в выигрышную позицию. Если исходная позиция выигрышная, то, как в разобранной задаче, выигрывает второй. В противном случае выигрывает начинающий.
Пример 14. Король стоит на поле al. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали «вправо — вверх». Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8. Решение. Занумеруем горизонтали и вертикали шахматной доски в естественном порядке. Координаты поля al - (1; 1), поля h8 - (8; 8). Выигрышными являются позиции, в которых король стоит на поле с четными координатами. Первый ход - на поле Ь2. Выигрывает первый игрок. (См. анализ выше: поле al — проигрышная позиция.) |
равно соответственно простым числам 19, 23, 29, 37.
заключить, что число — простое?