ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

· Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Свойства скалярного произведения (следуют из определения):

1)

2)

3)

4) − коммутативность.

5) −дистрибутивность.

6) .

4. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов.

· Векторным произведением векторов и называется вектор

,

1) длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) направлен он перпендикулярно плоскости этого параллелограмма так, что вектора , и образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения (следуют из определения):

1) .

2)

3) В частности: 1.

2.

3.

4) − антикоммутативность.

5) − дистрибутивность.

6) .

Замечание.

1) Если и , то

.

2) Если , , , то

.

Координатная форма векторного произведения:

.

Или .

5. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства. Смешанное произведение в координатной форме.

· Смешанным произведением трёх векторов , и называется число, равное их скалярно-векторному произведению вектора:

.

Свойства смешанного произведения.

(следуют из определения и свойств скалярного и векторного произведений).

1) При перестановке двух векторов смешанное произведение меняет свой знак:

− антикоммутативность.

2) При циклической перестановке трёх векторов смешанное произведение сохраняет свой знак: .

3) .

4) .

Координатная форма смешанного произведения:

.

Теорема (критерий компланарности векторов)

Векторы – компланарны .

►1) Если среди компланарных векторов есть коллинеарные, то их координаты пропорциональны. Следовательно, определитель, составленный из координат векторов, будет равен нулю.

Если среди компланарных векторов, принадлежащих плоскости , нет коллинеарных, то .

Т. е. .

2) Пусть .

Т. к. при этом , то векторы параллельны одной и той же плоскости, т. е. компланарны.

6. Приложения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

Приложения скалярного произведения:

1. Определение косинуса угла между векторами:

.

2. Нахождение проекции вектора на заданное направление:

, .

Приложения векторного произведения:

1. Установление коллинеарности векторов: ( ( ), т.е.

2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

,

Приложения смешанного произведения:

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если , и – правая тройка, если левая.

2. Установление компланарности векторов:

( Þ ( , , – компланарны).

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра):

, .

Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве

Линии на плоскости. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; общее уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении, через две точки; уравнение прямой в отрезках; полярное уравнение прямой; нормальное уравнение прямой.

Линией на плоскости называется ГМТ плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению связи двух переменных.

Способы задания уравнения линии: − неявно ;

− явно ;

− параметрически

− в полярных координатах .

Уравнение прямой на плоскости:

1) с угловым коэффициентом:

2) − общее уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

3) Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении: .

4) Уравнение прямой, проходящей через две точки: .

5) Уравнение прямой в отрезках: .

6) Полярное уравнение прямой:

7) − каноническое уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .