ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Вычисление определителя n-ого порядка

Примеры.

1. Найти произведения матриц и .

Решение: × = .

× = (2×1 + 4×4 + 1×3) = (21).

2. Даны матрицы , , . Найти .

Решение: ; ;

× = = ;

+ = .

2. Определители, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя порядков 2, 3, «n».

Определитель квадратной матрицы

· Определителем (детерминантом) матрицы называется число, равное значению алгебраического выражения, составленного по определённому правилу для элементов данной матрицы.

Обозначение: .

Размерность матрицы определяет порядок определителя.

Определитель 1-ого порядка
Определитель 2-ого порядка
Определитель 3-ого порядка	«правило треугольников»: –

Пример:

.

Свойства:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется:

.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак:

.

3. При умножении элементов строки (столбца) определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число: .

Следствие: Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число: .

5. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен 0:

Следствие: Определитель, имеющий две равные строки (столбца) или две пропорциональные строки (столбца), равен 0: , .

6. .

7. .

8. Если для элементов какой-либо строки или столбца матрицы верно соотношение: , , , то верно:

.

Доказательства этих свойств следуют из правил вычисления определителя и справедливы для определителей любого порядка.

Например докажем свойство №3 для определителя 2-ого порядка:

.

Вычисление определителя n-ого порядка

· Минором элемента определителя -ого порядка называется определитель -ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания -ой строки и -ого столбца (на пересечении которых находится выбранный элемент). Обозначение: .

Пример:

Для элемента определителя имеем

· Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком « », если сумма – четна, в противном случае со знаком «–».

Обозначение: .

Пример: Для элемента определителя имеем:

Теорема 1 Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения:

(по -ой строке) или

(по -ому столбцу).

► Докажем теорему для определителя 3-ого порядка.

Для матрицы составим и преобразуем сумму произведений элементов 1-ой его строки на соответствующие им алгебраические дополнения:

. ■

Теорема 2. Сумма произведений элементов строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

►Алгебраические дополнения элементов квадратной таблицы чисел содержат все строки (в том числе и i-ую строку) исходной таблицы чисел, кроме k-ой строки. Суммирование определяет значение определителя квадратной таблицы чисел, полученной из исходной заменой элементов k-ой строки соответствующими элементами i-ой строки.

Например, алгебраические дополнения элементов квадратной таблицы чисел размерности содержат элементы 2-ой и 3-ей строк. Тогда:

−

− элементы 1-ой строки заменились элементами 2-ой строки.

Т. о. полученный определитель будет иметь две одинаковые (i-ые) строки.

По свойствам значение такого определителя равно нулю. ■

Вывод:

Замечание. Для разложения определителя обычно выбирают ту строку или тот столбец, где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, лежащих на диагонали.

Определитель единичной матрицы равен 1, то есть .