ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Стійкість розв’язків систем ЗДР за першим наближенням. Критерій Рауса-Гурвица.

12 3 4

Державний екзамен напряму 6.040301 «Прикладна математика» (Бакалавр)

Теоретична частина іспиту

Алгебра та геометрія

1. Лінійні та нелінійні дії з векторами. Властивості, геометричний зміст.

2. Пряма на площині. Види рівнянь прямої на площині. Геометричний зміст коефіцієнтів рівнянь. Особливості розміщення.

3. Пряма в просторі. Види рівнянь прямої в просторі. Геометричний зміст коефіцієнтів рівнянь. Особливості розміщення.

4. Площина. Види рівнянь площини. Геометричний зміст коефіцієнтів рівнянь. Особливості розміщення.

5. Система лінійних алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера - Капелі.

6. Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь. Властивості розв’язків. Фундаментальна система розв’язків.

7. Арифметичний векторний простір. Лінійна залежність та незалежність систем векто-рів. Властивості лінійної незалежності векторів. Критерій лінійної залежності системи век-торів.

8. Лінійний простір та лінійний підпростір. Зв'язок кількості векторів системи в скінченновимірному лінійному просторі та лінійної залежності векторів цієї системи. База скінченновимірного лінійного простору.

9. Лінійний оператор. Матриця лінійного оператора. Зв'язок матриць лінійного операто-ра в різних базах. Подібні матриці.

10. Власні вектори та власні значення лінійного оператора. Властивості власних векторів. Знаходження власних векторів та власних значень лінійного оператора.

11. Евклідовий та унітарний лінійні простори. Теорема про ортогоналізацію в евклідовому (унітарному) просторі. Теореми про ортогональні та ортонормовані бази в евклідовому (унітарному) просторі .

Пограмування

Поняття про алгоритм та блок-схему. Основні елементи блок-схеми.

2. Культура програмування, поняття про ефективність алгоритму. Структура програми мовою С++ .

3. Програма, програмне забезпечення, програмний продукт.

4. Змінні у мовах програмування, роль, типи, опис та застосування.

5. Поняття проекту, консольного прикладення. Компілювання, виконання та налагодження програми.

6. Основні елементи мови С++: вбудовані типи, визначення та ініціалізація змінних, область їх видимості, правила вибору імен змінних; літерали (константи).

7. Основні елементи мови С++: операції та вирази – арифметичні, логічні, відношення, побітові оператори.

8. Арифметичні операції в мові С++ (приклади).

9. Інкремент та декремент, оператор присвоєння. Зведення типів у виразах, пріоритет операцій. Використання пробілів та дужок у виразах для покращення читання програми.

10. Створення простих консольних прикладень; використання деяких можливостей введення та виведення інформації. Засоби форматування.

11. Основні керуючі конструкції мови. Розгалуження та оператор switch. Приклади використання.

12. Основні інструкції керування – цикли for та while. Правила структурування коду програми.

13. Основні інструкції керування – цикл do while.

14. Використання інструкцій break, continue, return.

15. Файли. Текстові файли. Компонентні файли. Безтиповi файли.

16. Масиви в мові С++. Створення масиву.

17. Ініціалізація та використання масивів. Багатовимірні масиви.

18. Робота з рядками в мові С++. Використання керуючих символів при виводі рядків. Масиви рядків.

19. Функції і масиви. Функції, які працюють з діапазонами масивів.

Функції і об’єкти класу string.

21. Покажчики на функції. Обробка символьних та строкових даних в С++.

22. Рекурсія. Рекурсія з одиночним рекурсивним викликом.

23. Рекурсія з множинними рекурсивними викликами.

24. Операції сортування і пов'язані з ними операції.

25. Сортування. Бінарний пошук. Злиття.

Математичний аналіз

1. Границя функції (за Коші та за Гейне). Теореми про границю функції.

2. Похідна функції. Геометричний зміст похідної. Правила диференціювання.

3. Необхідна та достатня умови екстремуму функції для однієї змінної.

4. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа. Розклад деяких функції за формулою Тейлора.

5. Необхідні та достатні умови екстремуму функції двох змінних.

6. Первісна та невизначений інтеграл. Методи інтегрування функції.

7. Означення визначеного інтегралу та його властивості.

8. Числові ряди з додатними членами. Ознаки збіжності рядів з додатними членами.

9. Степеневі ряди. Терема Абеля. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.

10. Тригонометрична система функцій. Ряди Фур’є. Розклад функції в ряд Фур’є для парних та непарних функцій.

Диференціальні рівняння

ДР з відокремлюваними змінними та рівняння, що до них зводяться.
Однорідні ДР та рівняння, що до них зводяться.
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
Теорема про існування та єдиність розв’язку ЗДР першого порядку.
Диференціальні рівняння першого порядку, нерозв’язні відносно похідної. Рівняння Лагранжа і Клеро.
Основні властивості однорідних систем ЗДР 1-го порядку.
Визначник Вронського та фундаментальна система розв’язків.
Знаходження фундаментальної системи розв’язків для однорідної лінійної системи ЗДР з постійними коефіцієнтами.

Стійкість розв’язків систем ЗДР за першим наближенням. Критерій Рауса-Гурвица.

Теорія ймовірностей

1. Аксіоми теорії ймовірностей та властивості ймовірності.

2. Формула повної ймовірності. Формула Байеса.

3. Дискретні випадкові величини. Основні закони розподілу ДВВ. Числові характеристики.

4. Граничні теореми Муавра-Лапласа і Пуассона.

5. Загальне означення випадкової величини. Неперервна випадкова величина. Функції розподілу і щільності ймовірностей, властивості.

6. Основні закони розподілу НВВ. Числові характеристики.

7. Числові характеристики випадкових величин, їх властивості.

8. Система двох ДВВ, їх числові характеристики.Кореляційний момент.Коефіцієнт кореляції, його властивості. Функція розподілу ймовірностей .

9. Система двох НВВ. Функція розподілу Ймовірностей системи. Щільність Ймовірностей. Основні числові характеристики системи.

10. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема

Випадкові процеси

1. Означення випадкового процесу.

1. Поняття та властивості кореляції.

2. Стаціонарний випадковий процес.

3. Вінерівський процес: означення та його властивості.

4. Пуассонівський процес: означення та його властивості.

5. Інтеграли Іто, Стратоновича.

6. Формула Іто.

7. Формула Іто-Вентцеля.

8. Ядра інтегральних інваріантів.

9. Перші інтеграли стохастичних рівнянь

12 3 4