ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Рівняння прямої, заданою однією з її точок і вектором нормалі до неї.

123 4

Нехай задана точка Р_о прямої має координати (х_о,у_о), а деякий вектор нормалі n до неї (тобто вектор ортогональний до нашої прямої) – координатами (а,b). Якщо Р(х,у) довільна точка нашої прямої, тоді координати вектора рівні (х-х_о, у-у_о). Скалярний добуток ортогональних векторів можна виразити так:

(6)

Очевидно, що рівняння (6) також легко звести до вигляду (4). Тоді видно, що коефіцієнти а, b у рівнянні (4) будуть координатами одного із векторів нормалі до нашої прямої. Звідси, випливає, що при будь-яких значеннях коефіцієнтів а, b і с (крім а=b=0) рівняння (4) задає пряму. Це буде пряма, перпендикулярна вектору (а, b) і яка проходить через точку, координати якої задовольняють (4). При а 0 такою точкою буде, наприклад, точка , при а=0 – точка .

Не дивлячись на те, що на перший погляд умова задачі, може здатись надуманою, саме за допомогою її ми отримаємо хороший інструмент для розгляду цілого класу задач. В чому і переконаємось.

Рівняння прямої, перпендикулярної даній, і що проходить через задану точку.

Нехай задана точка Р_о шуканої прямої має координати (х_о,у_о). Якщо Р(х,у) – довільна точка на цій прямій, то координати вектора дорівнюють (х-х_о,у-у_о). Цей вектор перпендикулярний вектору , де Р₁(х₁,у₁) і Р₂(х₂,у₂) – точки на даній прямі. Тоді скалярний добуток ортогональних векторів можна виразити так:

(х₂-х₁)(х- х_о)++(у₂-у₁)(у -у_о)=0 (7)

або

(х₂-х₁)х+(у₂-у₁)у+( х₂-х₁)х_о+( у₂-у₁)у_о=0.

Якщо наша пряма задана коефіцієнтами а, b і с свого рівняння, то легко побачити, що вектор її нормалі з координатами (а,b) колінеарний вектору .

Тоді, записавши косий добуток цих векторів, отримаємо:

b(x-x₀)-a(y-y₀)=0 (8)

1.4. Рівняння прямої, що паралельна даній, та знаходиться на відстані r.

Очевидно, що шуканих прямих дві. Вектор нормалі до даної прямої ортогональний і до кожної з паралельних прямих. Значить коефіцієнти а і b при х і у в рівнянні (4) для паралельних прямих такі самі, як і в заданій прямій. Залишається підібрати значення третього коефіцієнта. Позначимо його для однієї прямої с₁, для другої – с₂. Як вище було зазначено, для визначення цих коефіцієнтів достатньо знайти хоча б по одній точці на кожній із прямих.

Візьмемо довільну точку Р(х₀, у₀) на заданій прямій (якщо пряма була задана не двома точками, то точку можна знайти за алгоритмом поданим в кінці п. 1.2). Проведемо через неї пряму, перпендикулярну даній. На паралельній прямі будемо шукати точку перетину (М(х₁,у₁)) з цим перпендикуляром (мал. 5). Нам відомий один вектор нормалі n=(а,b). Вектор колінеарний йому, а його довжина r. Для визначеності будемо рахувати, що, як і на малюнку, нормаль лежить з того ж боку прямої, що і точка М. Тоді . Значить координати точки М дорівнюють , . Підставимо їх у формулу (6), отримаємо .

Рівняння однієї із прямих отримане. В якості вектора нормалі для другої прямої можна взяти вектор – . В даному випадку отримаємо .

Мал. 5

Рівняння бісектриси кута.

Нехай вектор і беруть початок в точці . Знайдемо рівняння бісектриси кута Р₁Р₀Р₂. Якщо ми поділимо кожен з векторів і на його довжину, отримаємо при цьому вектори одиничної довжини. Вектор їх суми буде лежати на бісектрисі кута між ними (мал. 6). Координатами даного вектора будуть:

Мал.. 6

З умови колінеарності вектора , де Р(х,у) – довільна точка на шуканій прямій, отримаємо рівняння бісектриси:

(9)

При необхідності з (9) легко отримати коефіцієнти а, b і с для запису рівняння знайденої прямої у вигляді (4).

1.6. Рівняння кола.

За означенням кола з центром в т. М₀(х₀,у₀) і радіусом r, точка М(х,у) лежить на колі тоді і тільки тоді, коли відстань між точками М₀ і М рівна r. Використавши формулу для обчислення квадрату відстані між двома точками, ми прийдемо до наступного рівняння кола:

(х-х₀)²+(у-у₀)²=r² (10)

На практиці виявляється корисно знати і параметричне рівняння кола. Розглянемо перше коло з центром в початку координат. Якщо позначити t – кут між радіус-вектором (М(х,у) – довільна точка, що лежить на колі) і віссю Ох, який вимірюється проти годинникової стрілки, то очевидно, що x=rcost, y=rsint. Отже, для довільного кола параметричні рівняння будуть мати такий вигляд:

x=х₀+rcost

y=у₀+rsint (11)

Покажемо ще, як можна визначити довжину l найменшої дуги кола, якщо кінці дуги (х₁,у₁) і (х₂,у₂). З курсу геометрії відомо, що довжина кола прямо пропорційна куту між векторами (х₁-х₀,у₁-у₀) і (х₂-х₀,у₂-у₀): . А як знайти значення даного кута, було вже показано вище (потрібно тільки врахувати, що у випадку пошуку довжини меншої з двох дуг нас цікавить неорієнтований кут в діапазоні ).

Дотична до кола.

Нехай коло з центром у т. Р₀(х₀,у₀) і радіусом r. Потрібно знайти рівняння дотичної до кола, яка проходить через т. Р₁(х₁,у₁). Тут можливі три випадки. Якщо , то Р₁ лежить на колі. Тоді у шуканій дотичній нам відома точка Р₁ і нормаль , її рівняння легко записується (див. п. 1.3). У випадку точок дотику дві. Позначимо одну з них Р₂, ми отримаємо прямокутний трикутник Р₀Р₂Р₁ (мал. 7). Можна спробувати знайти шукане рівняння, в «лоб». Якщо (х₂,у₂) – координати точки дотику Р₂, то за теоремою Піфагора обчислюється довжина відрізка Р₁Р₂ (Р₀Р₂= r, Р₀Р₁ обчислюється за відомими координатами). Друге співвідношення для координат х₂ і у₂ – з рівняння кола (10). Обидва рівняння квадратні. Розв’язання даної системи представляє собою серйозні труднощі. Спробуємо обійтись без квадратних рівнянь, використавши скалярний і косий добуток векторів.

Мал. 7

Ми будемо шукати а=х₂-х₁ і b=у₂-у₁ вектора . Як було зазначено вище, довжини сторін прямокутного трикутника Р₀Р₂Р₁ легко знайти. Визначимо скалярний добуток векторів і : .

Геометричний зміст косого добутку - подвоєння площі трикутника Р₀Р₂Р₁, взятої із знаком плюс для однієї з точок і з мінусом – для другої.

Записуючи ці добутки в координатах отримаємо систему лінійних рівнянь відносно а і b:

Таку систему розв’язати вже неважко. Далі за точкою Р₁(х₁,у₁) і направляючим вектором записуємо рівняння дотичної. Задача розв’язана. Якщо нам потрібно ще знайти і координати точки дотику, то це можна зробити, використавши координати т. Р₁ і знайдені координати .

Для розв’язування цієї задачі є метод, в якому не потрібно навіть розв’язувати систему лінійних рівнянь. Проведемо з вершини Р₂ прямого кута висоту Р₂Р₃ (мал. 7). З подібності трикутників Р₁Р₂Р₀ і Р₁Р₃Р₂ знайдемо довжини відрізків Р₁Р₃ і Р₃Р₂:

; .

Тепер поступово знаходимо координати вектора , точки Р₃(х₃,у₃) і, на кінець використовуючи відомі координати вектора n=(y₀-y₁, x₁-x₀), перпендикулярного прямій Р₁Р₃, координати точки Р₂:

123 4