ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Уравнения в полных дифференциалах и их решение

Цель:Изучение уравнений в полных дифференциалах и их решения.

Задачи:

1. Ввести понятия уравнения в полных дифференциалах.

2. Рассмотреть необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах.

3. Рассмотреть способ решения уравнения в полных дифференциалах.

Желаемый результат:

Студенты должны знать уравнения в полных дифференциалах и способ их решения.

Учебные вопросы:

1. Уравнения в полных дифференциалах.

2. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах.

3. Решение уравнения в полных дифференциалах.

Определение и решение дифференциальных уравнений в

полных дифференциалах

Если левая часть уравнения:

(1)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е.

,

то уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах.

В этом случае его можно записать так:

.

Откуда интегрированием получаем общий интеграл

.

Например, легко проверить, что левая часть уравнения

есть полный дифференциал функции .

Поэтому уравнение можно записать в виде: . Откуда находим общий интеграл: .

Естественно, возникает вопрос: при каких условиях уравнение (1) представляет собой уравнение в полных дифференциалах и как найти функцию ?

Ответом на этот вопрос служит следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение

, (2)

где функции и определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и , представляло собой полный дифференциал некоторой функции необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие

. (3)

Доказательство: Докажем сначала необходимость этого условия. Для этого предположим, что существует такая функция , что и докажем, что имеет место равенство (3).

Полным дифференциалом функции является выражение:

.

Так как оно равно выражению (2), то мы имеем тождество

,

справедливое для любых и .

Сравнивая множители при и , получим

; .

Продифференцируем обе части первого равенства по , а второго по :

; .

Из равенства смешанных производных заключаем, что

и необходимость этого условия доказана.

Докажем теперь достаточность этого условия.

Для этого предположим, что условие (3) имеет место. Докажем, что выражение (2) представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е. что справедливы равенства

; . (4)

Тем самым задача сводится к отысканию функции , удовлетворяющей системе (4) из двух дифференциальных уравнений с частными производными.

Возьмем первое из уравнений (4). Его решение можно записать в виде:

, (5)

где - абсцисса какой-либо точки области , а - произвольная функция от , заменяющая произвольное постоянное , поскольку интегрирование производится по в предположении, что сохраняет неизменное значение. Определим так, чтобы удовлетворялось и второе из уравнений (4). Продифференцируем обе части равенства (5) по . Тогда получим

.

Так как , а согласно теореме о дифференцировании определенного интеграла по параметру ,

то .

По условию , следовательно:

.

Последний интеграл равен:

.

Поэтому , откуда

,

где - ордината точки области , а - произвольная постоянная.

Подставляя найденное выражение в равенство (5), получим:

. (6)

Итак, доказано не только существование функции , но даже выведена формула для нахождения этой функции.

Пример: Проверим, что дифференциальное выражение

представляет собой полный дифференциал и найдем функцию .

Решение. В данном случае

; ;

; .

Следовательно, условие выполнено.

Найдем функцию , удовлетворяющую уравнениям

; .

Первое из этих уравнений дает:

.

Так как (получено при дифференцировании функции ) и известно (из условия примера) то имеем:

.

Находим из этого выражения :

или .

Следовательно,

.

Если бы надо было проинтегрировать дифференциальное уравнение:

,

то, переписав его в виде

,

мы получили бы общий интеграл

.

Пример: Пусть дано дифференциальное уравнение:

.

Выберем из семейства интегральных кривых этого уравнения ту, которая проходит через начало координат.

Здесь ; .

Так как , ,

то условие выполнено и мы имеем уравнение в полных дифференциалах.

Остается найти функцию , удовлетворяющую уравнениям:

; .

Из первого уравнения находим

.

Дифференцируем полученное выражение по :

.

Приравнивая выражения , будем иметь

или .

Интегрируем обе части, получаем

.

Итак, уравнение семейства интегральных кривых имеет вид:

.

Уравнение искомой интегральной кривой найдем, зная, что из начального условия при следует, что .

Окончательно имеем: .

Вопросы для самопроверки:

1. Какие уравнения называются уравнениями в полных дифференциалах?

2. Сформулировать необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах.

3. Как найти решение уравнения в полных дифференциалах?