ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

12 3 4

Дифференциальные уравнения. Основные определения.

Цель:Изучение основных понятий дифференциальных уравнений.

Задачи:

1. Ввести понятие обыкновенного дифференциального уравнения и дифференциального уравнения в частных производных.

2. Дать понятие порядка дифференциального уравнения.

3. Дать определение дифференциального уравнения п-го порядка.

4. Рассмотреть общее и частное решения дифференциального уравнения п-го порядка.

5. Рассмотреть задачу Коши дифференциального уравнения п-го порядка.

6. Дать определение дифференциального уравнения первогопорядка.

7. Рассмотреть общее и частное решения дифференциального уравнения первогопорядка.

8. Рассмотреть задачу Коши дифференциального уравнения первогопорядка.

Желаемый результат:

Студенты должны знать основные понятия дифференциальных уравнений.

Учебные вопросы:

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных.

2. Порядок дифференциального уравнения.

3. Дифференциальное уравнение п-го порядка.

4. Общее и частное решения дифференциального уравнения п-го порядка.

5. Задача Коши дифференциального уравнения п-го порядка.

6. Дифференциальное уравнение первогопорядка.

7. Общее и частное решения дифференциального уравнения первогопорядка.

8. Задача Коши дифференциального уравнения первогопорядка.

Дифференциальные уравнения. Основные определения

Пусть функция отражает количественную сторону некоторого явления. Очень часто, рассматривая это явление нельзя непосредственно установить характер зависимости от , а можно установить зависимость между величинами и и производными от по : , ,…, , т.е. написать дифференциальное уравнение. Требуется из полученной зависимости найти или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение.

Рассмотрим пример.

С некоторой высоты брошено тело, масса которого . Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость падения этого тела, если на него кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности (т.е. требуется найти ).

Решение: По второму закону Ньютона:

где - есть ускорение движущегося тела (производная от скорости по времени), а F- сила, действующая на тело, в направлении движения. Эта сила складывается из двух: силы тяжести mg и силы сопротивления воздуха - (мы берем её с минусом, ибо она направлена в сторону, противоположную направлению скорости). Итак:

(1)

Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию и её производную , т.е. дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции .

Решить дифференциальное уравнение - это значит найти такую функцию , которая тождественно удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Таких функций имеется бесконечное множество.

Легко проверить, что всякая функция вида:

(2)

удовлетворяет уравнению (1), каково бы ни было постоянное число C.

Какая же из этих функций даст искомую зависимость от t? Для того чтобы её найти, используем дополнительное условие: при сбрасывании тела ему была придана начальная скорость , которая известна.

Но тогда искомая функция должна быть такова, чтобы при t=0 ( в начале движения) выполнялось условие . Подставляя t=0, , в формулу (2) найдем:

Откуда

Таким образом, постоянная найдена. Следовательно, искомая зависимость такова:

. (3)

Заметим, что если t =0 (т.е. сопротивление воздуха отсутствует, или оно столь мало, что им можно пренебречь), то мы получаем известный из физики результат: (4)

Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (I) и начальному условию: при t=0.

Во всех случаях при выборе дифференциального уравнения в физике или технике берется за основу некоторый общий физический закон или какой-либо ещё, имеющий дифференциальный характер (дифференциальный закон), т.е. связывающий бесконечно малые изменения рассматриваемых величин. После интегрирования уравнения получается интегральный закон, связывающий конечные значения этих величин.

Определение I. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , , …, . Символически дифференциальное уравнение можно записать в виде:

или

Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в математическом анализе изучаются также уравнения в частных производных.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется отношение между неизвестной функцией z зависящей от двух или нескольких переменных х.у,.., этими переменными х,у,... и частными производными от z и т.д.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение: - уравнение 1-го порядка.

Уравнение: - уравнение 2-го порядка и т.д.

Определение 3. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение превращает его в тождество.

Уже на простейших примерах можно убедиться в том, что дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Например, из уравнения:

(5)

решение определяется с помощью интегрирования:

Это есть общее решение уравнения (5), оно включает произвольную постоянную С и является записью всего многообразия решений. Придавая произвольной постоянной конкретные численные значения, мы получим частные решения:

; и т.д.

В общем случае для уравнения n-го порядка

(6)

решение находится в результате n последовательных интегрирований, так что общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных, т.е. имеет вид:

. (7)

Особенно часто общее решение получается в неявной форме:

(8)

Частные решения получаются, если придать каждой произвольной постоянной С ,С ,.., С конкретное численное значение.

График каждого частного решения называется интегральной линией рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии - это уравнение (7) и (8) с конкретными С. Чтобы из общего решения выделить одно частное, требуется, помимо дифференциального уравнения, поставить некоторые дополнительные условия. Чаще вето ставятся начальные условия, которые при исследовании процесса, развивающегося во времени, являются математической записью начального состояния процесса.

Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии называется задачей Коши.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(1)

Если это уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде: (1*)

В этом случае говорят, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной.

Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема. Если в уравнении функция и её частная производная по непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: при , .

Без доказательства.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .

Условие, что при функция должна равняться заданному числу называется начальным условием. Она часто записывается в виде:

Определение I. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция: , (2)

которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет следующим условиям:

а) Она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного ,

б) Каково бы ни было начальное условие при , т.е. можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что значения и принадлежат к той области изменения переменных x и y, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения

В процессе нахождения общего решения дифференциального уравнения нередко приходит к соотношению вида:

, (2*)

не разрешенному относительно у.

Разрешив это соотношение относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соответствующего соотношения (2*) в элементарных функциях не всегда оказывается возможным, в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство вида , неявно задающее общее решение называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение: Частным решением называется любая функция y= , которая получается из общего решения y= , если в последнем произвольному постоянному С придать значение С= .