 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения Цель:Изучение уравнений с разделяющимися переменными и однородных уравнений. Задачи: 1. Ввести понятия уравнений с разделяющимися переменными и уравнений с разделенными переменными. 2. Рассмотреть решение уравнений с разделяющимися переменными. 3. Дать определение однородной функции п-го измерения. 4. Дать определение однородного уравнения. 5. Рассмотреть решение однородного уравнения. Желаемый результат: Студенты должны знать уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения. Учебные вопросы: 1. Уравнения с разделяющимися переменными и их решение. 2. Однородные функции п-го измерения. 3. Однородные уравнения и их решения. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его следующим образом (предполагая, что
Считая у функцией от х, равенства (1*) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х получим общий интеграл уравнения (1):
Определение. Дифференциальное уравнение типа M(x)dx+N(y)dy=0 (2) называют уравнением с разделенными переменными. Общий интеграл его по доказанному есть:
Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными: xdx+ydy=0. Решение. Интегрируя, получим общий интеграл
Так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то и правая часть тоже неотрицательна. Обозначив 2С Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С. Определение. Уравнение вида:
называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение
то есть к уравнению вида (2). Пример 2. Дано уравнение Решение. Разделим переменные Интегрируя, находим: отсюда получаем общее решение Замечание: Простейшим дифференциальным уравнением с разделенными переменными являются уравнение вида:
Его общий интеграл имеет вид:
Однородные уравнения Определение 1. Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество
Пример 1. Функция f(x,y)=
Пример 2. Функция
Пример 3. Функция
т.е. или Определение 2. Уравнение I-го порядка:
называется однородным относительно х и у, если функция f(х,у) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.
Решение однородного уравнения По условию Положив в этом тождестве т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (1) в этом случае примет вид:
Сделаем подстановку: Подставляя это выражение производной в уравнение (1), получим:
Это уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя это выражение, найдем:
Подставляя после интегрирования вместо u отношение Пример 4. Дано уравнение: Решение. Справа стоит однородная функция нулевого порядка; следовательно, имеем однородное уравнение. Делаем замену
Разделяя переменные, будем иметь: Отсюда, интегрируя, находим:
Подставляя Получить у как явную функцию от х, записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Здесь легко выразить х через у:
Замечание. Уравнение вида: будет однородным, если М(х,у) и N(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.
Вопросы для самоподготовки: 1. Какие уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными? 2. Как решить уравнение с разделяющимися переменными? 3. Дать определение однородной функции п-го измерения. 4. Какие уравнения называются однородными уравнениями? 5. Как найти общий интеграл однородного уравнения?
ЛЕКЦИЯ № 19 Уравнения, приводящиеся к однородным Линейные уравнения первого порядка и их решения Цель:Изучение дифференциальных уравнений первого порядка. Задачи: 1. Рассмотреть уравнения, приводящиеся к однородным. 2. Рассмотреть способы приведения некоторых уравнений к однородным. 3. Дать определение линейного уравнения первого порядка. 4. Привести решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки. Желаемый результат: Студенты должны знать уравнения, приводящиеся к однородным, линейные дифференциальные уравнения и способы их решения. Учебные вопросы: 1. Уравнения, приводящиеся к однородным. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 4. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки. Уравнения, приводящиеся к однородным Уравнение вида:
приводится к однородному уравнению или к уравнению с разделяющимися переменным. Для этого введем новые переменные u и v вместо х и у, положив x = u + а числа Так как при указанной замене dx = du, dy = dv и уравнение принимает вид:
Подберем
т.е. определим При этом условии уравнение (2) становится однородным
Решив это уравнение и перейдя снова к переменным х и у, получим решение уравнения (1). Система уравнений (3) не имеет решения, если:
т.е. Но тогда и, следовательно, уравнение (1) можно записать в следующем виде:
Тогда подстановкой z=ax+by уравнение (4) приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Действительно,
Подставляя в уравнение (4) выражение z и равенство (5) получим:
это уравнение с разделяющимися переменными. Прием, примененный к уравнению (1) применяется и к интегрированию следующего уравнения
где f - непрерывная функция. Пример. Найти решение дифференциального уравнения
Решение. Положим x=u+
Выберем
то есть примем Получим однородное уравнение
Введем новое переменное z, положив: а значит Тогда или
Разделяя переменные, получим:
Откуда, интегрируя обе части, будем иметь:
Возвращаясь к прежним переменным х и у, получим общий интеграл (учитывая, что u = x - 2; v = y - 1):
Линейные уравнения первого порядка и их решения Определение. Дифференциальноеуравнение называетсялинейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции у и её производной
Если праваячасть уравнения (6) Q(x) Предположим, что уравнение (6) неоднородное, т.е. Q(x) Замечание: Не следует смешивать линейное однородноеуравнение с уравнением, однородным относительно х и у. Приведем 2 метода интегрирования уравнения (6): а) метод Бернулли; б) метод вариации произвольного постоянного. Случай однородного дифференциального уравнения (когда Q(x) Метод Бернулли
Произведем в уравнении (6) замену переменного, положив
Вычислим Подставим выражения у и
Пользуясь тем, что
Это уравнение разделяющимися переменными. Поделив его обе части на
откуда интегрированиемнайдем
или
Подставив выражение
Умножая обе части его на
откуда
Так каку=vu, то окончательно общее решениелинейного уравнения (6) запишется в виде:
Заметим, что произвольное постоянное С, полученное при интегрировании уравнения сократилось при умножении uна v. Этого следовало ожидать, ибо общее решение уравнения 1-го порядка должно содержать, только одно произвольное постоянное. Предвидя это, можно было в решении (8) заранее положить С=1 и взять частное решение Примененный здесь способ подстановки позволяет свести задачу интегрирования одного линейного уравнения (6) к отысканию решений двух уравнений с разделяющимися переменными. Пример. Решить уравнение Решение: Полагаем y=uv, тогда Подставляя выражение
или, преобразуя это выражение, получим:
Получим выражение для определения v
или Подставляя полученное выражение функции v в выражение (*), получим:
Интегрируя это уравнение, получим Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид
Полученное семейство является общим интегралом. Каково бы ни былоначальное условие
всегда можно подобрать C так, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию
Следовательно, искомое частное решение таково
Однако, в данном примере при Вопросы для самопроверки: 1. Какие уравнения можно привести к однородным? 2. Какие уравнения называются линейными уравнениями первого порядка? 3. Привести решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки. ЛЕКЦИЯ № 20 |
, (1)
):
. (1*)
.
.
.
через С² будем иметь: х²+у²=С².
(3)
:
,
.
.
, 
, 
,
.
или 
.
- однородная функция первого измерения, так как
.
есть однородная функция второго измерения, так как
есть однородная функция нулевого измерения, так как
,
,
.
(I)
, получим 
,
. (1')
, т.е. y=u× x. Тогда будем иметь 
.
.
или 
.
.
, получим интеграл уравнения (1')
тогда:
; 
; 
.
; 
.
или 
.
.
.
(1)
, y = v + 
,
. (2)
(3)
.
,
.
, т.е. 
.
. Откуда
(5)
,
,
.
, тогда dx=du, dy=dv и уравнение примет вид
.
,
, 
(это корни системы уравнений).
.
,
.
.
.
.
.
. Общий вид линейного уравнения 1-го порядка:
(6)
, то оно называется линейным однородным, в противном случае, оно называется неоднородным.
.
.
.
через 
и 
в уравнение (6):
. (7)
может быть выбрано произвольно, подберем его так, чтобы выражение, содержащееся в квадратных скобках, обратилось в нуль. т.е. потребуем, чтобы
.
, получим:
,
(8)
. (9)
, имеем
,
. (10)
. (11)
уравнения вместо общего, как обычно поступают на практике.
.
.
в исходное уравнение, будем иметь
. (*)
, откуда 
или 
.
, 
, откуда 
.
.
.
при 
, найдется следующим образом
.
.
мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при 
будет разрывная,и, следовательно, условия теоремы существования и единственности решенияне соблюдены (теорема Коши).