ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Уравнение Бернулли и его решение

Цель:Изучение дифференциальных уравнений первого порядка и способов их решений.

Задачи:

1. Рассмотреть решение линейного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной.

2. Дать определение уравнения Бернулли.

3. Рассмотреть решение уравнения Бернулли.

Желаемый результат:

Студенты должны знать метод вариации произвольной постоянной, а также уравнение Бернулли и его решение.

Учебные вопросы:

1. Решение линейного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной.

2. Уравнение Бернулли.

3. Решение уравнения Бернулли.

Решение линейных уравнений первого порядка методом

вариации произвольной постоянной

Пусть дано дифференциальное уравнение вида:

. (1)

Решим сначала соответствующее ему однородное уравнение:

, (2)

которое является уравнением с разделяющимися переменными.

Его общее решение

. (3)

Совершенно очевидно, что найденная функция не может быть решением неоднородного уравнения, т.к. при подстановке в уравнение (1) она обратит левую часть в нуль, в то время как правая часть не равна нулю. Если рассматривать не как константу, а как функцию от , т.е. , то можно подобрать функцию так, чтобы функция (3) стала решением неоднородного уравнения (1).

Для нахождения функции вычислим производную функции :

,

уравнение (1) переходит в уравнение

, (4)

(два средних члена взаимно уничтожились).

Мы опять получили уравнение с разделяющимися переменными и неизвестной функцией . Его общее решение:

.

Подставляя найденное выражение в равенство (3), получим искомое решение неоднородного уравнения (1) в виде:

. (5)

Название способа происходит от того, что мы варьируем (изменяем) про­извольную постоянную , считая его функцией от .

Этот способ, как и способ Бернулли, позволяет свести линейное уравнение (1) к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример: Найти общее решение линейного уравнения

методом вариации произвольной постоянной.

Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения

.

Разделение переменных приводит это уравнение к виду

,

откуда и .

Будем варьировать , полагая , при этом и

.

Выражения и подставим в исходное уравнение, получим:

или после упрощений:

; ;

откуда .

Подставляя выражение в решение однородного уравнения, придем к общему решению исходного уравнения

.

Уравнение Бернулли и его решение

Общий вид уравнения Бернулли

, (6)

где .

При уравнение Бернулли переходит в линейное уравнение, при оно является уравнением с разделяющимися переменными, так как может быть преобразовано, к виду:

и, следовательно, может быть проинтегрировано разделением переменных.

В дальнейшем будем предполагать, что .

Уравнение Бернулли можно подстановкой привести к линейному виду. Для этого разделим обе части уравнения на

.

Положим

,

тогда

и уравнение Бернулли принимает вид:

,

.

Это линейное уравнение первого порядка с неизвестной функцией , его можно проинтегрировать способом подстановки или способом вариации произвольного постоянного и найти как функцию от .

Возвращаясь к первоначальному переменному путем обратной замены на , получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Пример: Найти общий интеграл уравнения Бернулли

.

Решение. Разделив обе части уравнения на получим:

.

Положим ; .

Уравнение принимает вид:

или .

Это линейное уравнение и будем его интегрировать методом вариации произвольной постоянной.

Общее решение однородного уравнения

, , .

Полагаем, что вычислим

и подставим в линейное неоднородное уравнение. Получаем:

или

, ,

откуда

и, следовательно, общее решение неоднородного уравнения

.

Вернемся к переменной у, получим

или окончательно

.

Практически более удобным является решение уравнения Бернулли с помощью подстановки (не сводя его к линейному).

Пример. Решить уравнение Бернулли

.

Решение: Положим , тогда , подставляя эти значения в уравнение, получим

,

.

Функцию найдем, как частное решение уравнения:

; ; ; ; .

Находим функцию : ; ; ; .

Интегрируя это выражение, имеем:

;

; ; ; ;

.

Тогда окончательно для имеем:

.

Так что общее решение имеет вид:

.

Вопросы для самопроверки:

1. Рассказать о решении линейного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной.

2. Какое уравнение называется уравнением Бернулли?

3. Как решить уравнение Бернулли?

ЛЕКЦИЯ № 21