ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Проверка различия средних арифметических

1 234

Обычно при сравнении существующего технологического процесса с усовершенствованным технологическим процессом, при сравнении производственной методики по способу А и В, при сопоставлении результатов работы группы А и группы В и т.д. среднее генеральной совокупности часто бывает неизвестно. В такого рода ситуациях рекомендуется осуществлять проверку, придерживаясь следующего порядка.

Прежде всего, определяют отношение дисперсий, полученных из несмещенных оценок s_е1², s_е2² для двух групп выборок, и осуществляют проверку по F-распределению, в результате чего убеждаются, что в дисперсии не обнаруживается существенного различия. В том случае, когда между s_е1² и s_е2² имеется существенное различие, то определить общую дисперсию s₂² становится невозможным.

Если нет существенного различия между s_е1² и s_е2², то обозначая средние арифметические измеренных значений двух групп выборок n₁, n₂ через , а сумму квадратов через S₁, S₂, можно построить предположение, что дисперсия генеральной совокупности s² оценивается общей для двух групп несмещенной оценкой :

= (3.6)

При проверке существенного различия средних арифметических в двух группах выборок целесообразно применить формулу:

(3.7)

и осуществлять проверку по t-распределению. При этом число степеней свободы равно Ф = n₁+n₂ - 2.

Объединив вместе все процедуры проверки при данной ситуации, получают:

1. Н₀:s₁² = s₂², а также m₁ = m_2.

2. Определяют дисперсии s_е1², s_е2² и осуществляют проверку по

F-критерию. Если нет существенного различия переходят к следую-

щему процессу.

3. Н₁:m₁ ¹ m₂.

4. Определив s_е², вычисляют t₀.

5. Сравнив t₀ со значениями t_ф_,_a из таблицы t-распределения при

Ф = n₁+n₂ - 2, делают выводы.

Пример 3.4.

Проверить, существенно ли различие в средних значениях твердости после закалки, произведенной на устройствах А и В, пользуясь данными примера 3.3.

Решение:

1. Н₀:s_А² = s_В², m_А = m_В.

2. В результате проверки по F-критерию, как уже было описано выше, существенного различия не было установлено.

3. Н₁:m_А ¹ m_В.

4. Определяют несмещенную оценку дисперсии по зависимости (2.6):

5. Вычисляют по выражению (3.7) t₀:

6. Выносится решение:

t_9;0.01 = 3.25 > t_0.

Существенного различия между средними значениями не установлено.

Статистическое оценивание количественных значений.

Интервальная оценка.

3.4.1. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности

s² уже известна

Если определить среднее арифметическое в выборке объемом n, взятой методом случайного отбора образцов из нормальной генеральной совокупности со средним арифметическим m и дисперсией s² и нормировать его, то выражение (3.1) подчинится нормальному распределению со средним значением m = 0 и дисперсией s² = 1.

Приняв значение U, соответствующее уровню значимости a, за U_a , получают, что вероятность неравенства

< < (3.8)

будет (1- a). Видоизменив эту формулу, получают нижнюю границу и верхнюю границу нахождения среднего арифметического m. Это и есть доверительный интервал.

Пример 3.5.

Известно, что среднее арифметическое отклонение массы изделий, изготовленных неким технологическим процессом, составляет

s =3,5 г. Далее в результате измерения массы этих изделий в выборке объемом n=4, извлеченной случайным отбором, было получено г. Предлагается сделать интервальную оценку среднего арифметического для массы в генеральной совокупности при доверительной вероятности 99%.

Решение.

Поскольку 1 - a = 0,99, то a = 0,01. По табл.1 Приложения находим U_0,01 = 2,576.

Нижняя граница г.

Верхняя граница г.

Таким образом, среднее арифметическое генеральной совокупности находится в интервале 58,3 < m < 72,5 г.

3.4.2. Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна

Если дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна и при этом использовать выражение (2.10), то определенное при помощи выражения (3.2) распределение статистической величины t принимает распределение Стьюдента при числе степеней свободы Ф = n - 1. Доверительный интервал, обусловленный вероятностью (1 - a), выражают:

< < (3.9)

причем доверительные границы

(3.10)

Пример 3.6.

Для того, чтобы узнать величину поводки, полученную при термообработке штампованных деталей, была взята выборка n = 10 и получены = 0,085 мм, s_е = 0,042 мм.

Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для величины поводки этих деталей.

Решение.

Доверительные границы

Доверительный интервал 0,054 мм - 0,116 мм.

1 234