ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Проверка гипотезы нормальности распределения

Некоторое представление о близости эмпирического распределения к нормальному дает анализ показателей асимметрии и эксцесса. Показатель асимметрии определяют по формуле:

(2.8)

где - (2.9)

третий центральный момент;

- (2.10)

среднее квадратическое отклонение.

Показатель эксцесса определяют по формуле:

(2.11)

где - (2.12)

четвертый центральный момент.

Для симметричных распределений m₃ = 0, m₄/s_e⁴ = 3, следовательно, А = 0 и Э = 0.

Несмещенные оценки для показателей асимметрии и эксцесса находят по формулам:

(2.13)

(2.14)

Для проверки гипотезы нормальности распределения следует также вычислить среднеквадратические отклонения для показателей асимметрии и эксцесса:

(2.15)

(2.16)

Если выполняются условия и , то гипотезу нормальности исследуемого распределения принимают.

Пример выполнения проверки гипотезы

Нормальности распределения

Используя данные табл.2.2 определить количественные характеристики распределения и проверить гипотезу о нормальности распределения. По формулам (2.2), (2.4), (2.8), (2.11), (2.13), (2.14), (2.15) и (2.16) находим следующие значения:

,

следовательно, данное распределение можно отнести к нормальному.

С целью упрощения необходимые для расчета данные сводим в таблицу (табл.2.3).

Вариант задания

Для определения варианта задания из табл. 2.1 выписывают все столбики и строки, за исключением тех столбиков и строк, порядковые номера которых совпадают, соответственно с последней и предпоследней цифрами номера зачетной книжки.

Таблица 2.3

Вычисление количественных характеристик

№ п/п	Интервалы варьирования	Середины интервала	Частота fi	fixi
	0,1-0,3	0,2		0,4	-0,82	0,67	-0,55	0,45	1,34	-1,1	0,9
	0,3-0,5	0,4		3,2	-0,62	0,384	-0,238	0,148	3,073	-1,904	1,184
	0,5-0,7	0,6		7,8	-0,42	0,176	-0,074	0,031	2,288	-0,962	0,403
	0,7-0,9	0,8		12,0	-0,22	0,048	-0,011	0,002	0,72	-0,165	0,03
	0,9-1,1	1,0		20,0	-0,02	0,0004			0,008
	1,1-1,3	1,2		20,4	0,18	0,032	0,006	0,001	0,544	0,102	0,017
	1,3-1,5	1,4		18,2	0,38	0,144	0,055	0,021	1,872	0,710	0,273
	1,5-1,7	1,6		14,4	0,58	0,336	0,195	0,113	3,024	1,755	1,017
	1,7-1,9	1,8		5,4	0,78	0,608	0,475	0,370	1,824	1,425	1,11
S					14,692	-0,134	4,934

ЗАДАНИЕ 3

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ПРОВЕРКА

КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНОК

Выбор правильного решения из двух противоположных предположений о генеральной совокупности называется статистической проверкой.

Предположительная количественная оценка параметра генеральной совокупности называется статистическим оцениванием.

Проверка средних значений

3.1.1. Ситуация, когда среднее арифметическое по совокупности

m и дисперсия генеральной совокупности s² известны

В практической деятельности ситуация, когда m и s² генеральной совокупности уже известны, встречаются редко. Однако, такую ситуацию можно приближенно заменить ситуацией, при которой из многочисленных данных статистически управляемого технологического процесса можно определить среднее арифметическое и дисперсию. Ниже рассмотрим ситуацию, когда проверяют, действительно ли n-ное количество данных, которые считаются взятыми из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение, взяты из этой генеральной совокупности.

Порядок проверки гипотез:

1. Строят нулевую гипотезу (ее обозначают H₀).

H₀ : m₁ = m₂ (n-е количество данных взято из идентичной генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение).

2. Выдвигают альтернативную гипотезу:

Н₁: m₁ ¹ m₂ (n-е количество данных было взято не из идентичной генеральной совокупности).

3. Выбирают тип распределения, исходя из гипотезы 1 принимают нормальное распределение N(m, s²).

4. Вычисляют статистическую оценку

(3.1)

5. Принимают решение о проведении двухсторонней либо односторонней проверки гипотез.

Разграничение области 5%, 1%-ного уровня значимости и т.д. называют областями отклонения гипотезы. На рис. 2.1 они заштрихованы. Эти области отклонения иногда берут по обе стороны распределения, а иногда по одну сторону. Например, в отличие от нулевой гипотезы

m₁ =m₂, если предположить, что альтернативная гипотеза будет m₁ ¹ m₂, то область отклонения берут с двух сторон, если же предположить, что она m₁ > m₂ или m₁ < m₂, то берут только с одной стороны. Такие проверки гипотез соответственно называют двухсторонней или односторонней проверкой.

6. Принимают решение отклонить или принять нулевую гипотезу.

После того, как в табл.1 Приложения будут найдены числовые значения величин, соответствующие 5% или 1%-ному уровню значимости, их сравнивают со статистическими оценками, полученными в результате вычислений, и выносится решение.

Если расхождения нулевая

значение ® не являются ® гипотеза

U₀ < U_a значимыми принимается

Если расхождения альтернативная

значение ® являются ® гипотеза

U_0,01 > U₀ > U_0.05 значимыми принимается

Если расхождения альтернативная

значение ® имеют высокую ® гипотеза

U₀ > U_0.01 степень значи- принимается

мости

Пример 3.1.

Выход годной продукции в технологическом процессе составлял: среднее арифметическое m =85,5%, среднее квадратическое отклонение s =4,5%. После внесения в технологический процесс усовершенствований, собранные в течение четырех дней данные составили `х = 93,3%.

Уровень значимости	5%	1%
Тип распределения	Вид распределения	Двухсторонняя проверка	Односторонняя проверка	Двухсторонняя проверка	Односторонняя проверка
Нормальное распределение		a=0,05	a=0,10	a=0,01	a=0,02
t-распределение		a=0,05	a=0,10	a=0,01	a=0,02
F-распределение		a=0,025	a=0,05	a=0,005	a=0,01

Рис.3.1 Распределение и уровень значимости

Можно ли утверждать, что между первым и вторым случаем имеется расхождение?

Решение:

1. Н₀ : m₁ = m₂

2. Н₁ : m₁ ¹ m₂ (двухсторонняя оценка).

3. Среднее при n = 4 подчиняется нормальному распределению.

4. По формуле (3.1)

.

5. При сравнении с 1%-ным уровнем значимости получится

U₀ =3,42 > U_0.01 = 2,58. Следовательно, расхождение имеет высокую

степень значимости. Значения U_a , берут из табл.1 Приложения.

3.1.2. Ситуация, когда известно только среднее арифметическое

генеральной совокупности m

Поскольку дисперсия генеральной совокупности s² неизвестна, необходимо пользоваться ее предположительной оценкой, исходя из выборочных данных. А именно, осуществляют проверку над m, используя и основываясь на t-распределении (Стьюдента):

1. Строят нулевую гипотезу:

Н₀:m₁ = m₂.

2. Строят альтернативную гипотезу:

Н₁:m₁ ¹ m₂ (двухсторонняя проверка),

m₁ > m₂ или m₁ < m₂ (односторонняя проверка).

3. Выбирают распределение для проверки статистических оценок.

Поскольку s неизвестно, проводят проверку, используя s_е и основываясь на t-распределении.

3. Вычисляют статистические оценки

. (3.2)

5. Сравнивая значение из таблицы t-распределения (для соответствующей степени свободы Ф = n -1 и уровня значимости a) и значение t₀, принимают решение.

Если t₀ > t_{(Ф; 0.05)} , то различие имеет место, поскольку уровень значимости 5%-ный.

Если t₀ > _{t(Ф; 0.01)} , то имеет место существенное различие, поскольку уровень значимости 1%-ный.

Пример 3.2.

До сих пор выход годной продукции в технологическом процессе в среднем составлял 85,5%. После того, как технологический процесс был усовершенствован, данные, собранные за 10-дневный срок, позволили получить следующие цифровые значения:

Можно ли утверждать, что выход годной продукции увеличился?

Решение:

1. Н₀:m₁ = m₂

2. Н₁:m₁ < m₂ (односторонняя проверка).

3. Определяют среднее арифметическое выборки .

Определяют сумму квадратов S по зависимости (2.3):

Определяют среднее квадратическое отклонение s_е (2.10):

4. Определяют t₀ по формуле (3.2):

5. Сравнивают со значениями из таблицы t-распределения. Эта проверка является односторонней, поскольку проверяется: "Можно ли утверждать, что объем выхода годного увеличился?". По табл.2 Приложения определяют t_Ф,a = tg₉;_0.02 = 2,821.Так как

t₀ = 10,52 > t_Ф,a = 2,821, то можно утверждать, что выход годного

существенно увеличился.