ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Приклади розв'язування задач

12 3 4

КІНЕМАТИКА

1. Прямолінійний рівномірний рух

2. Прямолінійне рівноприскорений рух ( сповільнення)

а= const

а (3)

u=u₀+а×t (4)

(5)

(6)

Якщо u₀=0 то

u=а×t (7)

(8)

(9)

3. Вільне падіння тіла.

u₀- спрямоване вниз u₀- спрямоване вниз

u=-u₀+g×t (10) u=-u₀+g×t (13)

(11) (14)

(12) .(15)

4. Рух тіла кинутого вертикально вгору

u=-u₀ – g×t (16)

(17)

(18)

Максимальна висота підьому знайдемо з рівняння (17)

(19)

Щоб знайти час підьому, необхідно використати умову, що швидкість в точці В u_в=0.

Тоді з виразу (16) отримаємо

(20)

5. Рух тіла по колу.

Повне прискорення а складається з двох прискорень:

1) дотичного прискорення а_т спрямованого по дотичній до кола;

2) доцентрованого прискорення яке чисельно рівне

(21)

та спрямоване до центру кола.

Загальне прискорення рівне

(22)

Дотичне прискорення а_т характеризує зміну швидкості по величині . Якщо рух тіла рівномірний, то а_т =0, пройдений шлях, тобто дуга, знаходиться за формулою (2). Якщо рух прискорений або сповільнений, то використовуються формули (3)-(6), де замість прискорення а потрібно писати а_т. Доцентрове прискорення характеризує зміну швидкості по напрямку.

6. Рух тіла кинутуго під кутом до горизонту

u_О_x=u₀cosa₀ (23)

u_О_y =u₀sin a₀ (24)

х=u_0х×t (25)

u_x=u₀cosa; (26)

u_y=u₀sina-gt. (27)

(28)

В точці В

Використовуючи рівність (23),з (26) знайдемо час підьому

0=u₀sina-gt₁ Þ (31)

Час польоту Т=2×t₁ (32)

Дальність польоту L=u_0х×Т (33)

Висота підьйому (34)

7. Складний рух точки

(35)

(36)

(37)

Якщо u₁ ^ u₂ тоді (38)

Якщо u₁ не ^ u₂ тоді (39)

Якщо u₁ ║ u₂ тоді u=u₁-u₂ (40)

u=u₁₊u₂

Приклади розв'язування задач

Задача 1.З якою швидкістю uповинен летіти та якого курсу повинен триматися літак відносно меридіана, щоб за час 0,5 год він пролетів у північному напрямі шлях 248,4 км, якщодує північно-східний вітер під кутом 60° до меридіана зі швидкістю 36км/год?

Розв’язування: Коли б літак летів у тиху погоду, то його швидкість вздовж меридіана дорівнювала б:

Але оскільки літак під час польоту зноситься вітром у південно-західному напрямі зі швидкістю u₁, то його швидкість вздовж меридіана u₂ відрізняється від шуканої швидкості літака, яка дорівнює u =u₂ – u₁(див. рис.1)

Абсолютне значення швидкості літака знаходимо за теоремою косинусів

Підставивши числові значення величин в одиницях СІ, дістанемо:

u = =143.26м/с

Для визначення курсу літака відносно меридіана, тобто для визначення кута , скористаємось теоремою синусів

, звідки ;

; = 3⁰26’

Відповідь: u = 143,26 м/с; g= 3⁰26’

Задача 2.Кінематичне рівняння руху матеріальної точки по прямій (вісь х) мас вигляд х=А+Вt+Сt³, де А=4 м, В=2 м/с, С=0,5 м/с³. Для моменту часу t₁=2с визначити: 1) координату точки х₁; 2) миттєву швидкість u₁; миттєве прискорення ₁.

Розв’язування.1. Визначимо координату точки, якщо в рівняння руху підставимо значення часу:

х₁ = А + Bt + Ct .(1)

Підставляючи числові значення А, В, С, t₁. в рівність (1) знаходимо:

що x₁=4м..

2. Знаходимо миттєву швидкість у довільний момент часу:

(2)

Тоді в момент часу t₁ миттєва швидкість

u₁= B + Ct

Підставляючи числові значення В, С, t₁ в рівність (2) одиницях СІ і, виконуючи обчислення, знаходимо:

u₁ = - 4м/с

Від'ємне значення u₁показує, що в момент часу t₁ = 2с точка рухається в протилежному напрямі відносно координатної осі.

3.Миттєве прискорення в довільний момент часу знайдемо, взявши другу похідну від координати х:

Миттєве прискорення в момент часу t₁_:

(3)

Підставивши у формулу (3) числові значення величин С, t₁, знайдемо, що митєве прискорення буде:

Від'ємне значення а показує, що напрямок вектора прискорення протилежний напряму координатної осі.

Відповідь: х₁= 4 м; u₁= -4 м/с;

Задача 3 Тіло кинуте під кутом a₀ до горизонту з початковою швидкістю u₀. Визначити: 1) швидкість та координати тіла через t_c після кидку; 2) час польоту; 3) максимальну висоту підйому; 4) дальність польоту в горизонтальному напрямі; 5) швидкість тіла в момент падіння; 6) рівняння траєкторії. Опором повітря знехтувати.

Розв’язування. Виберемо систему координат з початком в точці кидання тіла, вісь OY спрямуємо вертикально в гору, ОХ – горизонтально, в ту сторону, куди кинуто тіло ( рис.2)

За початок відліку часу візьмемо момент кидання тіла. В цій системі координат рух тіла можна розглянути, як результат складання двох прямолінійних рухів: рівномірного руху вздовж осі ОХ зі швидкістю u_ОХ, та кинутого вертикально вгору з початковою швидкістю u_О_y_, вздовж осі OY.

Запишемо початкові умови:

х₀ = 0, y₀ = 0

u_О_x=u₀cosa₀

u_О_y =u₀sin a₀

Значення проекцій прискорення на осі координат рівні: а_х=0, а_y=-g. Залежність проекцій швидкостей від часу запишемо в такому вигляді:

u_x=u₀cosa;

u_y=u₀sina-gt.

З трикутника швидкостей знайдемо модуль та напрямок вектора швидкості в будь – який момент часу.

(1)

Напрямок вектора швидкості:

(2)

Координати тіла в момент часу t рівні:

(3)

(4)

Час польоту t_п та максимальну висоту підйому легко знайти, якщо звернути увагу на те, що вздовж вісі OY тіло рухається вертикально вгору з початковою швидкістю u_oy_, модуль якої рівний u_oy = u₀sina.

Час польоту, це час до падіння тіла на Землю, в момент падіння координата тіла „y” буде рівна нулю. Тоді з рівняння (4) можна знайти час польоту тіла.

(5)

Час t₁підйому тіла на максимальну висоту можна знайти слідуючим чином. Проекція швидкості на вісі Y змінюється за законом u_y=u₀_Y-gt = u₀sina₀- gt. В точці „В” (найвищій точці польоту) проекція швидкості буде рівна u_в_y=0.

Тоді

З цього виразу знайдемо час підйому тіла на максимальну висоту t₁:

(5а)

Порівнявши формули (5) і (5а) встановлюємо, що час підйому в половину менший за час польоту тіла, а це означає, що час підйому тіла і час падіння тіла однакові.

Якщо в вираз (4) підставитьи вираз (5а), то знайдемо максимальну висоту підйому:

. (6)

Якщо у вираз (3) підставити час польоту тіла t_п (вираз (5)), то цим самим знайдемо дальність польоту тіла:

Враховуючи, що в момент падіння t = t_n , то з рівняння переміщення, можа знайти дальність польоту S в горизонтальному напрямку.

S = (u₀cosa₀)t_n = u₀cosa₀ ; (7)

З отриманого результату можна зробити висновок, що при заданій швидкості u₀, найбільша дальність буде тоді, коли sin 2a₀ = 1, тобто при куті кидання 45⁰. При цьому

S_max =

Модуль і напрям вектора швидкості u₁ в момент падіння найдемо, підставивши значення t_n із формули (5) в формулу (1) і в формулу (2).

; (8)

Таким чином, модуль швидкості тіла в момент падіння рівний модулю початкової швидкості і . Кут падіння .

Для того, щоб отримати рівняння траєкторії руху тіла, потрібно виключити час t з рівнянь (3) та (4). Знайдемо час t з рівняння (3)

Отримане рівняння підставимо в рівняння (4).

Маємо

З математики відомо, що функція у = ах² + bх при а < 0 є парабола, яка проходить через початок координат, та орієнтована випуклістю вгору.

Таким чином тіло, кинуте під кутом до горизонту, рухається по параболі.

Задача № 4

Два тіла рухаються рівномірно назустріч одне одному і відстан між ними зменшується на S = 16 м за кожний t = 10с. Якщо ці тіла, з такими ж за величиною швидкостями, будуть рухатися в одному напрямі, то відстан між ними збільшується на S₁ = 3 м за кожні t₁ = 5с. З якою швидкістю рухається кожне з цих тіл?

Розв’язування:

В першому випадку при русі тіл назустріч одне одному відстань S становить шлях, пройдений обома тілами разом за час t, тобто

S=u×t + u₁×t=t×(u+u₁) (1)

в другому випадку оскільки одне з тіл має більшу швидкість, відстань між ними збільшується за час t₁, на величину S₁. Отже можна записати:

S₁=u×t₁ - u₁×t₁=t₁×(u+u₁) (2)

Перепишемо рівняння (1) та (2) в систему:

Додаючи праві і ліві частини рівнянь, одержимо:

Підставивши числові значення, одержимо: u= 1,1 м/с.

Так само знаходимо значення u₁

Після підстановки числових даних маємо : u₁ = 0,5 м/с

Відповідь: u= 1,1 м/с; u₁ = 0,5 м/с

Задача № 5.

Два автобуси одночасно виїхали з пункту А в пункт В. Один з них першу половину шляху проїхав з постійною швидкістю u₁, а другу половину шляху з постійною швидкістю u₂. Другий автобус їхав з швидкістю u₁ половину всього часу свого руху від А до В, а другу половину часу – з швидкістю u₂. Визначити середню швидкість руху кожного автобуса, якщо u₁=30 км/год. і u₂=50 км/год.

Розв’язування: Середня швидкість визначається відношенням всього пройденого шляху до всього затраченого часу. Зробимо схематичний малюнок на якому зображемо рух тіла (див. рис.3).

, (1)

де S – повний шлях; t – повний час.

Для першого автобусу весь пройдений шлях буде:

S=S₁+S₂; оскільки за умов задачі S₁=S₂, тоді

S=2S₁. (2)

Весь час буде рівний t = t₁+t₂, де

, , тоді

; (3)

Підставивши (2), (3) в (1) отримаємо:

Після підстановки отримаємо, що u_ср1.=37,5 км/год.

Для другого автобусу запишемо:

(4)

Весь час рівний:

t=t₁+t₂, але за умов задачі отримаємо що t₁=t₂ тобто

t=2t₁ (5)

Весь пройдений шлях рівний :

S=S₁+S₂ де.

Тоді S=t₁(u₁+u₂) (6)

Підставивши в (4) рівняння (5) та (6) отримаємо:

Відповідь: u_ср1=37,5 км/год, u_ср2=40 км/год

Задача №6.Весь шлях автомобіль проїхав із середньою швидкістю 80км/год. Середня швидкість на першій чверті шляху дорівнювала 120 км/год. Яка була середня швидкість на решті шляху ?

Розв’язування:

Середня швидкість визначається відношенням всього пройденого шляху до всього затраченого часу. Зробимо схематичний малюнок на якому зображемо рух тіла (див. рис.4).

(1)

де u_ср=80км/год.

Весь шлях рівний S=S₁+S₂ де S₁=1/4S, S₂=3/4S.

Весь час t=t₁+t₂, де

Підставивши значення t₁, t₂ в t маємо:

. (2)

Підставивши (2) в (1) отримаємо;

З останього виразу знайдемо u₂:

Підставивши дані отримаємо, що u_ср2 = 72 км/год

Задача №7.Ескалатор метрополітену піднімає пасажира, що стоїть на ньому нерухомо, за 1 хв. По нерухомому ескалатору пасажир піднімається за 3хв. За який час пасажир піднімається по рухомому ескалатору?

Розв’язування:Запишемо рівняння руху для кожного з випадків вказаних в умові задачі.

; (1)

; (2)

. (3)

де

S –довжина ескалатора, u₁- його швидкість, u₂- швидкість руху пасажира по нерухомому ескалаторі, t₁- час підіймання нерухомого пасажира ескалатором, t_{2 –} час підіймання пасажира по нерухомому ескалаторі, t₃ – шуканий час підіймання рухомого пасажира по рухомому ескалаторі.

Знайшовши швидкості з першого та другого рівняннь

, ,

та підставивши їх в третє, отримаємо:

звідси

Відповідь: t₃=45c.

Задача №8.Визначити середою лінійну і кутову швидкість третього радянського штучного супутника Землі, якщо період його обертання по орбіті становив 105 хв, а середня висота польоту 1200 км? Радіус Землі R=6400 км.на рис. 5 зображено рух супутника на орбіті..

Розв’язування: Середня лінійна швидкість супутника визначається формулою:

де S – шлях який пройшов супутик, зробивши повний оберт, Т- час одного повного оберту супутника.

Шлях супутника, це довжена кругової орбіти з радіусом обертання (R+h).Тобто S=2p×(R+h).

Т-період обертання який становить, Т=6300с.

Підставивши значення шляху та часу в формулу середньої швидкості будемо мати:

Кутова швидкість прирівномірному русі;

Якщо супутник зробив один оберт то кут повороту рівний j=2p рад, а час буде рівний періоду обертання t=Т.

Тоді

Відповідь: , рад/с.

Задача №9.На горизонтальній вісі обертаються зі швидкістю 3000об/хв два тонких диски, закріплених на відстані S=100см один від одного. Пущена паралельно вісі куля пробиває обидва диски, причому друга пробоїна виявилась зміщеною відносно першої на кут 45⁰.

Пробивши диски, куля заглиблюється в мішень на d=60 см. Знайти:

1.) швидкість кулі під час руху її між дисками, вважаючи швидкість постійною;

2.) час руху в мішені;

3.) прискорення в мішені.

На рис 6. зображено рух кулі між дисками, а також показано зміщення кулі в другому диску.

Розв’язування:

Швидкість буде рівна

, (1)

де S шлях між дисками, t – час руху між дисками. Під час руху кулі між дисками вони повертаються на 45⁰ або на оберта. Тоді час руху між дисками буде рівний t = ×Т.

де Т період обертання дисків який визначається

де n- частота обертання.

n=3000об/хв=50 об/сек.

Підставивши всі перетворення в формулу (1) маємо;

Прискорення руху кулі в мішені можна визначити за формулою

, u₀²=0, d-шлях який куля пройшла в другому диску. Знак мінус показує, що рух сповільнений. Тоді маємо

звідки .

Тоді час руху в мішені можна знайти з рівняння закону зміни швидості при прискореному русі:

З цього рівняння знайдемо час руху кулі в диску.

Маємо

; ; t 0.003 сек.

Задача № 10.Літак знижується на ціль під кутом 60 до горизонту зі швидкістю 540км/год і кидає бомбу на висоті 600м. На якій відстані від цілі в горизонтальному напрямі потрібно звільнитися від бомби, щоб вона вразила ціль? Опором повітря знехтувати.

Розв’язування.Виберемо систему координат так як показано на рис.7.

Випишемо початкові умови: х₀=0, y₀=0, u₀_x=u₀cosa, u₀_y=u₀sina. Залежність координати бомби від часу запишемо рівнянням:

(1)

. (2)

Бомба потрапляє в ціль в момент часу t=t₁ при цьому y=h, S=x. Враховуючи це, на основі рівняння (2) отримаємо висоту;

З рівняння висоти знайдемо час падіння бомби:

При вирішенні квадратного рівняння другий корінь одержується від’ємний тому фізичного змісту немає. Підставивши t₁ в рівняння (1) знайдемо відстань від цілі в горизонтальному напрямі:

Підставивши числові значення, отримаємо

Задача №.11 Тіло кинуто з початковою швидкістю u₀ під кутом a₀ до похилої поверхні, яка утворює з горизонтом кут b. Визначити час польоту та максимальне віддалення тіла від похилої поверхні.

Розв’язування:

За початок відліку приймемо точку кидання тіла, вісь ОХ спрямуємо вздовж похилої поверхні, вісь ОY перпендикулярно ОХ (див.рис.8). Випишемо початкові умови: х₀=0, y₀=0,u₀_x=u₀×cosa₀,u₀_y=u₀sina₀, також знайдемо проекції прискорення на осі координат; a_x=g_x=g×sinb, a_y=g_y=g×cosb.

Рух тіла можна розглянути як результат складання двох прямолінійних рухів: рівноприскорений рух вздовж осі ОХ з прискоренням g_x, та рівнозміний рух вздовж осі OY з прискоренням g_y.

Значення проекцій швидкостей в момент часу t:

u_х=u_0х+а_х×t

u_y=u₀_y+a_y×t.

Координати тіла в момент часу t:

Підставимо отримані рівняння u_0х, u_0y, а_x, а_y в рівняння швидкостей та координат держимо:

(1)

(2)

(3)

(4)

Час польоту знайдемо з рівняння тієї координати яка в момент падіння буде рівна нулю. Такою координатою виступатиме координата „у”. Запишемо умову:

(5)

Після вирішення рівняння отримаємо:

Враховуючи, що в момент падіння координата х=S, тоді дальність польоту знайдемо з рівності (3), враховуючи час польоту :

Після перетворення одержимо:

Для знаходження максимального віддалення тіла від похилої поверхні в рівняння (4) підставимо значення часу підйому t₂, який знайдемо з рівності (2) де врахуємо , що в найвищій точці траєкторії проекція швидкості на вісь OY буде рівна нулю.

Звідси маємо

Тоді, враховуючи, що в цій точці y=h, отримаємо

Після перетворень отримаємо,

Задача № 12.Два потяги їдуть на зустріч один одному зі швидкостями u₁=12м/c і u₂=18м/с. Пасажир в першому потязі помічає, що другий потяг проїжджає повз нього за час 8с. Яка довжина другого потягу.

Розв’язування: Зробимо схематичний малюнок на якому зображено рух потягів один відносно іншого.

Зв’яжемо рухому систему відліку з першим потягом, за початок координат О¢ візьмемо місцезнаходження пасажира. За додатній напрям осі О¢Х¢ візьмемо напрям руху другого потягу. Нерухома система відліку пов’язана з землею (рис.9).

Згідно закону складання швидкостей запишемо;

;

де u₂¢ - швидкість другого потягу відносно першого. З першої рівності,

Знайдемо проекцію вектора на вісь О¢Х¢:

Координата другого потягу в момент часу буде

В момент часу t=t₁, коли останій вагон другого потягу проходить повз пасажира, то х¢=0, тобто з рівняння координати можна знайти довжину потягу,

З цієї рівності маємо,

Підставивши числові значення отримаємо, що довжина другого потягу дорівнює l=240м.

Задача №14.В морі два кораблі рухаються зі швидкостями під кутом a один до одного. Знайти швидкість другого корабля відносно першого.

Розв’язування: Зробимо схематичний малюнок в якому, рухому систему X¢O¢Y¢ пов¢яжемо з первим кораблем прийнявши за додатній напрямок вісь О¢Х¢ , тобто напрямок швидкості першого корабля (рис.10). нерухому систему координат XOY пов’яжемо з водою. В системі X¢O¢Y¢ другий корабель рухається зі швидкістю u₂¢. Згідно закону складання швидкостей запишемо:

, звідси

В проекціях на вісі координат О¢Х¢ і O¢Y¢ отримаємо: