ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Тема 10 Оптимальная стратегия обновления оборудования

Предприятие в начале пятилетнего периода выделило =4,5 млн. руб. для комплектования оборудования, стоимость единицы которого =1,5 млн. руб. Единица оборудования за год приносит предприятию =0,6 млн. руб. прибыли. Необходимо разработать такую программу пополнения оборудования, чтобы суммарная прибыль от его внедрения в течение планового периода была максимальной.

Решение.

Выигрыш – прибыль от внедрения оборудования. Управление – доля прибыли i-го года, идущая на закупку оборудования в следующем (i+1)-ом году: . Общее число единиц нового оборудования к концу i-го года обозначим через .

I этап. Построение целевой функции F.

Первый год. На выделенные средства предприятие закупает единицы оборудования. Если число получилось нецелое, то надо его округлить до меньшего целого значения и найти остаток неистраченной суммы. Суммарная годовая прибыль от приобретенного оборудования составит . Доля этой прибыли пойдет на приобретение оборудования на второй год, а доля (1- ) останется в распоряжении предприятия (если есть остаток неистраченной суммы, то его надо прибавить к первой доли, так как эти деньги предназначены для покупки оборудования). Эта прибыль будет равна:

. (1)

Второй год. На второй год новое оборудование будет приобретаться за счет части прибыли , полученной в течение первого года. Эта величина равна . Используя ее, можно в течение второго года дополнительно приобрести  единиц нового оборудования. Всего к концу второго года в распоряжении предприятия будет  единиц оборудования.

На третий год на закупку нового оборудования используем долю прибыли, полученной за второй год. В распоряжении предприятия за второй год остается прибыль

. (2)

Третий год. На третий год на закупку оборудования пойдет млн. руб. Это позволит дополнительно закупить  единиц оборудования. Количество оборудования к концу третьего года будет составлять

единиц.

Общая прибыль от внедрения оборудования будет равна . На приобретение нового оборудования на четвертый год пойдет сумма млн. руб. В распоряжении предприятия остается доля прибыли , что составит

. (3)

Четвертый год. На четвертый год на закупку оборудования пойдет млн. руб. Это позволит закупить дополнительно  единиц. Количество оборудования к концу четвертого года будет  единиц. Прибыль от его внедрения составит млн. руб.

На приобретение нового оборудования на пятый год пойдет сумма млн. руб. У предприятия останется прибыль

. (4)

Пятый год. На пятый год на закупку оборудования пойдет сумма млн. руб. Это позволит закупить дополнительно  единиц. Количество оборудования к концу четвертого года будет  единиц.

Так как этот год последний в плановом периоде, то выделение средств на закупку оборудования не планируется и вся прибыль остается у предприятия:

. (5)

Целевая функция данной задачи представляет собой суммарную прибыль за весь пятилетний период, которая равна сумме прибылей за каждый год:

Эта функция зависит от переменных , , , , . Таким образом, задача состоит в определении таких значений переменных, при которых F достигает максимума.

2 этап. Решение задачи «в обратном порядке».

Обозначим суммарную нарастающую прибыль, получаемую от внедрения нового оборудования через , то есть

.

Согласно принципу оптимальности Беллмана будем решать задача «в обратном порядке» - от пятого года к первому.

Прибыль за все пять лет:

. (6)

Прибыль за четыре года:

. (7)

Подставляя (7) в (6), получаем:

. (8)

Из формулы (8) делаем вывод о том, что при , то есть

. (9)

Прибыль за три года:

. (10)

Подставляя (10) в (9) и учитывая формулу для , получаем:

. (11)

Из формулы (11) делаем вывод о том,

при , то есть

. (12)

Прибыль за три года:

. (13)

Подставляя (10) в (9) и учитывая формулу для , получаем:

. (14)

Из формулы (14) делаем вывод о том, что при , то есть

. (15)

Прибыль за два года:

. (16)

Подставляя (16) в (15) и учитывая формулу для , получаем:

. (17)

Из формулы (17) делаем вывод о том, что при , то есть

. (18)

Прибыль за первый год и значение для вычислены ранее:

, . Подставляя их в (18). Получим:

. (19)

Из формулы (19) делаем вывод о том, что при , то есть

млн. руб.

Так как - целевая функция задачи, то решение окончено.

Ответ: максимальная прибыль за пять лет, равная 10,584 млн. руб., будет получена в том случае, если в течение первого и второго года всю прибыль направить на закупку нового оборудования( ), а в течение третьего, четвертого и пятого годов новое оборудование не покупать ( ).

Контрольное задание №10