ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Применение первого закона термодинамики для анализа политропных процессов

123

Прежде чем получить частное решение уравнений термодинамики для политропных процессов в идеальных газах, рассмотрим возможность получения общего решения уравнений термодинамики для таких газов, которые определяются уравнениями, описывающими модель идеального газа и термодинамического процесса.

Модель идеального газа определяется соотношениями

(9.2)

Любые термодинамические процессы описываются первым законом термодинамики

(9.3)

Таким образом, общая модель термодинамических процессов в идеальном газе представляет собой систему дифференциальных и алгебраических уравнений (9.2) и (9.3).

Выясним условия, при которых эта система имеет решение. Запишем первый закон термодинамики в двух формах для внутренней энергии и для энтальпии :

(9.4)

Из определения теплоемкости следует, что

(9.5)

Используя это соотношение, запишем равенства ( 9.4 ) в виде

(9.6)

Известно, что для идеального газа

С учетом этих зависимостей соотношения (9.6) примут вид:

Разделив первое равенство на второе, получим

или

(9.7)

Легко видеть, что для того, чтобы получить общее решение дифференциального уравнения (9.7), необходимо знать зависимость .В общем случае такую зависимость для любых процессов идеального газа получить нельзя. Поэтому нельзя получить решение уравнения (9.7) в общем случае даже для идеальных газов.

Однако решение этого уравнения можно получить для различных частных случаев, например, при условии, что теплоемкость рабочего тела остается постоянной в течение всего процесса, т. е. для политропных процессов. В этом случае дифференциальное уравнение (9.7) можно решить методом разделения переменных.

Введем обозначение

(9.8)

Здесь n называется показателем политропного процесса или показателем политропы. Из (9.8) следует, что

(9.9)

С учетом обозначения (9.8) дифференциальное уравнение,описывающее любой политропный процесс, примет вид

(9.10)

После интегрирования обеих частей этого уравнения получим

или

После интегрирования обеих частей последовательного равенства получим окончательно

(9.11)

Это выражение является простейшим частным решением системы алгебраических и дифференциальных уравнений (9.2), (9.3) при условии, что .

Таким образом, политропные процессы — это такие процессы, для которых система дифференциальных и алгебраических уравнений (9.2), (9.3), описывающая модель обратимых термодинамических процессов в идеальном газе, имеет решение в аналитическом виде (9.11).

По устоявшейся традиции это решение называют уравнением политропы или уравнением состояния политропного процесса. Из него следует, что для любых двух и более состояний рабочего тела, участвующего в данном политропном процессе, имеют место равенства

(9.12)

В курсе физики уже получали подобную связь давления с объемом для адиабатного процесса в виде

(9.13)

Соотношения (9.13) могут быть получены из (9.12) заменой n на k. Это понятно, т. к. адиабатный процесс является частным случаем политропных процессов при n=k.

Поэтому по аналогии с адиабатным процессом в любом политропном процессе для удельной работы расширения