ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Топологічні простори та топологічні многовиди. Приклади.

1 23

Нехай - не порожня множина довільної природи, – множина всіх її підмножин. Множину називають топологією на , якщо вона задовольняє наступним аксіомам:

1. Якщо для всіх де – множина індексів, можливо нескінченна), то ; порожня множина .

2. Якщо , то ; сама множина .

Означення 1: Топологічним простором назвемо множину , на якій визначено топологію, тобто пару . Елементи з назвемо відкритими множинами.

Приклад1: Нехай . легко бачити, що та - топологічні простори з топологіями , відповідно.

На будь-якій непорожній множині можна ввести топологію, причому різними способами. Нехай - метричний простір з метрикою (відстанню) , - відкрита куля з центром в точці радіуса r>0.

Множину називають відкритою, якщо . Позначимо через множину всіх відкритих в множин.

Як відомо, побудована множина задовольняє аксіоми 1, 2, тобто утворює топологію на . Отже, будь-який метричний простір є топологічним з топологією , про яку говорять, що вона індукована метрикою .

Але на будь-якій множині можна задати метрику , наприклад покласти , де . Таким чином на кожній непорожній множині можна задати метрику, яка, в свою чергу, індукує топологію, перетворюючи цю множину в топологічний простір.

Означення 2: Нехай - топологічний простір та . Множину В називають околом множини А, якщо . Якщо , то В – окіл точки .

Окіл множини чи окіл точки необов’язково множина відкрита.

Означення 3: Сімейство називають базою топології , якщо для кожної її точки та довільного її околу .

Вважають, що простір є простором із зчисленною базою, якщо топологія має хоч одну базу, що складається не більше ніж зі зчисленної кількості елементів.

Приклад2: множина інтервалів утворює базу топології на множині дійсних чисел. Множина всіх інтервалів з раціональними кінцями утворює зчисленну базу цієї топології.

Теорема 1: Нехай – топологічний простір, . Множина є околом кожної своєї точки тоді і тільки тоді, коли вона відкрита.

Доведення: Нехай . Для маємо: , отже - окіл точки .

Навпаки, нехай А –окіл кожної своєї точки. Тоді : .

Позначимо . Зрозуміло, що . Але , отже А . Таким чином , .

Означення 4: Нехай і - топологічні простори. Відображення називають неперервними в точці , якщо для довільного околу точки в існує окіл точки в , такий, що .

Відображення називають топологічним (гомеоморфізмом), якщо:

1. - бієкція;

2. і неперервні на та відповідно.

Теорема 2: відображення неперервне на тоді і тільки тоді, коли прообраз довільної відкритої множини з є відкрита множина в .

Доведення: Нехай , . Нехай - довільна точка з і - довільний окіл точки в . Зa означенням 2 ( )( ). Тоді . Але , тобто - окіл точки . Отже, відображення неперервне в точці

Навпаки, нехай неперервне на . Візьмемо довільне , і нехай - довільна точка з . Оскільки неперервне в та - окіл точки , то - окіл точки . Отже, множина є околом будь-якої своєї точки. За теоремою 1 , що й потрібно було встановити.

Теорема 3: Нехай відображення є гомеоморфізмом. Тоді , тобто гомеоморфізм переводить топологію на в топологію на .

Доведення: За означенням 4 відображення неперервне на , а відображення неперервне на . Тоді за теоремою 2 і , звідки і . Отже, .

Теорема 3 дає можливість задавати топологію на множинах, що гомеоморфні множині, на якій топологія вже відома.

Означення 5: Нехай - відокремлюваний топологічний простір, – вимірною картою називають гомеоморфізм відкритої підмножини на (або на його відкриту підмножину). При цьому множину називають координатним околом карти .

Означення 6: – вимірним топологічним многовидом називають зв’язним, відокремлюваний топологічний простір із зчисленною базою, який можна покрити координатними околами – вимірних карт.

Можна довести, що гомеоморфізм переводить топологічний многовиди в топологічний многовиди тієї ж розмірності.

Приклад3: Простір зв’язний, відокремлюваний. Зчисленну базу у ньому утворює сімейство всіх можливих добутків інтервалів з раціональними кінцями. За карту візьмемо тотожне перетворення (координатним околом цієї карти є ). Отже - топологічний многовид. Застосовуючи топологічне відображення, легко показати, що афінний простір та евклідів простір також - вимірні топологічні многовиди.

1 23