ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Кривина та скрут просторової кривої. Тригранник Френе. Формули Френе.

12 3

Криві та поверхні в трьохвимірному евклідовому просторі, векторні параметризації. Елементарні поверхні.

Означення: Множину точок, яку пробігає кінець радіус вектора при зміні параметра на інтервалі називається годографом або кривою заданою рівнянням . Крива – це деяка сукупність(множина) точок евклідового простору. Рівність називають параметризацією кривої. Одна і та ж сама крива може мати різні параметризації.

- параметризація кривої в координатній формі.

– параметричні рівняння кривої

Нехай функція диференційовна , тоді

Означення: Точку називають звичайною для параметризації , якщо , і особливою, якщо умова не виконується.

Означення: Крива, задана рівнянням називається регулярною го порядку, якщо , тобто має неперервних похідних. При криву називають гладкою.

Означення: Крива називається простою дугою, якщо існує ортонормований базис в якому , .

Теорема(про існування простої дуги): У кожній звичайній точці гладкої кривої існує окіл в якому вона є простою дугою.

Означення: Дотичною в точці називається граничне положення січної при умові, що при .

Теорема(про дотичну): У кожній звичайній точці гладкої кривої існує дотична, паралельна до .

Нехай регулярна крива 2-го порядку задана рівнянням ( ), причому , . Довжина дуги кривої обчислюється за формулою: .

Введемо ряд означень:

Область називається елементарною, якщо вона гомеоморфна відкритому кругу.

Вектор-функція називається вектор-функцією двох скалярних аргументів.

Поверхнею Ф називається годограф вектор-функції двох скалярних аргументів заданої на елементарній області .

Поверхня Ф називається елементарною, якщо вона гомеоморфна елементарній області

Векторна рівність називається параметризацією поверхні.

Приклад: , - не компланарні. , , , , . . , , .

, , - параболічний циліндр.

Означення: Параметризація поверхні належить класу на елементарній області , якщо існує її неперервних похідних на або .

Означення: поверхня називається простою в околі точки , якщо існує окіл цієї точки в якому вона є елементарною. У цьому випадку її можна подати рівнянням .

Означення: Точка поверхні Ф називається звичайною, якщо в цій точці вектори не колінеарні: .

Теорема: У кожній звичайній точці існує окіл в якому поверхня є простою

Доведення:Ф: , , . З теореми про неявні функції що u= . З параметричних рівнянь поверхні .

Кривина та скрут просторової кривої. Тригранник Френе. Формули Френе.

Нехай рівнянням на проміжку задано регулярну криву другого порядку i - довільна точка цієї кривої, яка відповідає значенню параметра . Проведемо через точку довільну площину , визначивши її одиничним вектором , ортогональним до неї. Змістимось по кривій з точки в точку і оцінимо відстань точки від площини , яка дорівнює довжині перпендикуляра , опущеного з точки на цю площину.

Напрямлений відрізок з початком в точці еквівалентний вектору , позначимо через . Якщо , то точка рухається до точки по кривій , а точка теж рухається до точки по площині . При цьому відстань прямує до нуля, тобто є нескінченно малою величиною разом з .

Означення: Скажемо, що в точці крива має з площиною дотик другого порядку, якщо є нескінченно малою не нижче третього порядку малості відносно при , тобто при .

Означення: Площина , яка має з кривою в точці дотик другого порядку, називається стичною площиною кривої в цій точці.

Теорема: Якщо - регулярна крива другого порядку і (*) ,то в точці існує єдина стична площина цієї кривої, яка паралельна до векторів .

Якщо умова(*) не виконується і точка - звичайна точка кривої , то будь-яка площина, що містить в собі дотичну до цієї кривої в точці , є стичною.

Означення: Точки кривої , в яких умова (*) не виконується, назвемо точками розпрямлення цієї кривої.

Означення: Нормаль в даній точці кривої, яка належить стичній площині називається головною нормаллю.

Означення:Нормаль в даній точці кривої до стичної площини називається бінормаллю.

Означення: Площина, яка вданій точці містить бінормаль і головну нормаль називається нормальною площиною.

Означення: Площина, яка в даній точці кривої містить бінормаль і дотичну називається спрямною площиною.

Означення: Сукупність шести елементів: дотична, головна нормаль та бінормаль і 3 площини: стична, нормальна і спрямна називається тригранником Френе кривої в точці

Тригранник Френе утворює прямокутну просторову систему координат.

Означення: Одиничні вектори , які розташовані відповідно на дотичній, на головній нормалі, на бінормалі права трійка векторів. . , , , , .