ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Перша квадратична форма (ПКФ) поверхні, її застосування.

123

5. Першою квадратичною формою гладкої поверхні Ф з векторною параметризацією , називають вираз

, де

Оскільки ( - повний диференціал поверхні), і поверхня Ф не містить особливих точок, то ця квадратична форма є додатно визначеною і обертається в нуль лише при .

Застосуємо ПКФ для знаходження довжини дуги кривої на поверхні, кута між кривими на поверхні та обчислення площі області на поверхні.

Задамо на поверхні Ф довільну регулярну криву : , дуга якої має довжину , що визначається формулою . Тоді маємо , де - ПКФ поверхні Ф.

Рівнянням визначимо на цій поверхні ще одну гладку криву . Нехай криві і мають спільну точку М( ). Під кутом між цими кривими в точці М ми розуміємо кут між їх дотичними в цій точці. Знайдемо цей кут, відшукавши кут між напрямними векторами і цих дотичних:

Для знаходження кута між координатними лініями поверхні Ф в точці М в останній формулі покладемо, наприклад, і одержимо .приходимо до висновку, що координатна сітка поверхні є ортогональною(її координатні лінії перетинаються під прямим кутом) тоді і тільки тоді, коли для всіх точок .

Припустимо, що D – область з , обмежена кусково-гладким контуром, а Г – годограф гладкої вектор-функції на множині D.

Означимо поняття площі області Г. для цього розіб’ємо цю область сіткою координатних ліній на криволінійні паралелограми. Розглянемо один з них, позначивши його вершини через , , , , таким чином, щоб та були додатними. Замінимо цей паралелограм, побудованим на напрямлених відрізках та з початками в точці М( ) як на сторонах. Зрозуміло, що останній паралелограм лежить в дотичній площині до поверхні Ф в точці М( ). Його площу знайдемо за формулою . Але з рівності випливає, що , отже , де коефіцієнти обраховано в точці М( ).

Зауваження: Вираз називають дискримінантом ПКФ поверхні Ф. Зрозуміло, що він не може набувати від’ємних значень і перетворюватися в 0.

Аналогічно поступимо з кожним криволінійним паралелограмом здійсненого розбиття і складемо суму площ усіх одержаних прямолінійних паралелограмів:

Означення: Якщо існує границя, яка не залежить ні від способу розбиття області Г координатними лініями, ні від вибору параметризації поверхні Ф, то цю границю назвемо площею області Г.

Оскільки є неперервна функція від та , то вказана границя існує і не залежить від способу розбиття області Г на криволінійній паралелограми, причому

. (*)

Залишилось показати, що одержана величина не залежить від вибору параметризації поверхні Ф. Для цього перейдемо до довільної її еквівалентної параметризації . Використавши означення еквівалентних параметризацій отримаємо , звідки маємо , де - коефіцієнти ПКФ поверхні в криволінійних координатах . Тоді вираз (*) набирає вигляду . Скориставшись формулою заміни змінних в подвійному інтегралі одержуємо рівність , в якій через позначено область, гомеоморфні області при переході до параметризації .

Адитивність площі поверхні випливає з адитивності подвійного інтеграла, тобто . При обчисленні площі поверхні можна розбивати цю поверхню на частини і для кожної з них використовувати свою параметризацію.

123