ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Теорія площин у просторі (аналітичний виклад).

123

Нехай в просторі задана загальна система координат x, y, z – змінних.

О. Рівнянням від трьох змінних x, y, z наз. рівняння f(x, y, z)=0. F(x, y, z)=0- деякий аналітичний вираз, що одночасно не перетворюється в 0 при всіх значеннях змінних x, y, z . Якщо ж рівність (1) f(x, y, z)=0 справджується при всіх змінних, то вона наз. тотожністю.

О. Поверхнею наз. ГМТ простору, координати яких в деякій системі координат задов. рівняння (1). Найпростіші із поверхонь є площини. Розглянемо можливі задання площин.

а) Нехай задано т. і два не колінеарні вектори а і b ║δ, тоді т. і визначають площину в просторі. Нехай точка М має такі координати , , . В такому разі трьома числами характеризується площина в просторі. Точка М – початкова точка площини, а і b – напрямні вектори.

б) Нехай δ задана трьома точками , , . Площина задана дев’ятьма числами.

в) Площина може задаватись також трьома точками, розташованими в системі координат .

Т. В загальній декартові системі координат площину записують рівнянням першого степеня, виду ax+by+cz+d=0.

Дов.: Зафіксуємо на площині σ довільну точку та виберемо на ній два не колінеарні вектори і . , , . Нехай довільна точка М площини σ має координати . , , - ці вектори є компланарними. Маємо визначник: =0 (2) , Покажемо, що А=В=С≠0. Ці числа будуть пропорційні, а це неможливо.

Т. Довільне рівняння першого степеня в загальній Декартові системі координат задає рівняння площини.

Часткові випадки розташування площин.

Д=0 - площина проходить через точку О(0;0).

С=0. Тоді нормальний вектор n(А,В,0) він перпендикулярний до OZ. Площина σ ║OZ.

В=0 σ ║OY. 4)А=0 σ ║ОХ. 5) Д=С=0 площина проходить через вісь OZ. 6) Д=В=0 σ ║ZOY. 8)А=В=0 σ ║ХOY. 9) В=С=Д=0 σ ║YОZ. 10)A=C=D=0 σ =ХOZ. 11) А=В=С=0 – це неможливо.

Рівняння площини, що проходить через три точки.

Нехай в просторі площина визначається трьома точками , . Точка М - біжуча точка. . Аналогічно і . Маємо визначник: (1) – Рівняння площини, що проходить через три точки.

Параметричне рівняння площини.

Нехай площина σ задана т. і двома векторами , , . Тоді будуть компланарні. Оскільки а непаралельне b, можна подати через два не компланарні вектори .

- параметричне рівняння площини.

Нормальне рівняння площини .

Зведення загального рівняння площини до загального.

. Знак не повинен бути протилежним до вільного члена р.

О. Відхиленням т. від площини σ назив. додатнє число δ=d, якщо т. і початок координат розміщені по різні боки від площини і δ=-d, якщо по один бік.

Т. Відхилення т. від площини σ = лівій частині нормального рівняння площини, де замість біжучих координат підставляють координати т. , .

Взаємне розташування площин

Т. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розташованої матриці системи дорівняє рангу основної матриці.

О. Пучком площин назив. сукупність тих і тільки тих площин простору, що проходять через одну пряму – вісь пучка.

Т. Якщо в площині декартової системи координат задані дві площини і загальними рівняннями і ці площини перетинаються по прямій l, то .

О. В’язкою площин наз. сукупність тих і тільки тих площин простору, що проходять через одну і ту ж точку, яка наз. центром в’язки.

Теорія прямих в просторі

Нехай в просторі задано прям. декартову сис. коорд., відносно неї розміщена пряма . Нехай т. , — напрямлений вектор прямої , — біжуча точка. парал до (1) — р-ня прямої .

У записі (1) є 2 р-ня , що є р-ням площини, тоді пряма утворена як перетин площин і (1) наз. канонічними р-нями.

Прикладом є параметричне р-ня прямої, утв. з (1) прирівнявши кожне відношення до . .

Зручно використовувати для знаходження такого перетину прямої і площини, р-ня прямої, що проходить через 2 т. і :

Вище говорилося, що пряма утв. як перетин 2-х площин. Нехай (*)

Сис. (*) наз. загальним р-ням прямої. Зведемо його до канонічного виду. Для знаходження напрямленого досить знайти — век. добуток (за озн): будемо мати р-ня: , де . Є поняття кута між прямими в просторі – це кут між їх напрямленими век., або кут, що доповнює його до . Коли маємо 2 прямі і і їх напрямлені век. та , відповідно, то прямі ортогональні , .

Прямі в площині перетинаються, якщо: . 2-3 рядки пропорційні.

123