ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Система координат в 3-вимірному просторі. Перетворення системи координат.

Скалярний і векторний добуток двох векторів, їх властивості та застосування.

Нехай і ненульові вектори. Якщо розмістити ці вектори на прямих паралельних до кожного з них і задати напрямок, що співпадає з напрямком векторів, то отримаєм дві напрямлені прямі, які в загальному випадку не перетнуться.

О. Кутом між напрямленими прямими назвемо менший з двох кутів, які вони утворюють.

О. Під кутом між 2-ма векторами будемо розуміти кут між напрямленими прямими .

О. Число будемо називати скалярним добутком векторів , якщо воно . Якщо скал добуток =0, то ці вектори перпендикулярні або один з них 0-вектор.

Т. Скалярний добуток двох векторів, заданих своїми координатами відносно ортонормованої бази = сумі добутків відповідних координат цих векторів: (1).

Д. Нехай – не колінеарні і не нульові. Виберемо точку О і відкладемо вектори . Розглянемо . За теоремою косинусів:

або

(2)

; , , тоді . Підставимо одержані рез-ти в (2), маємо:

. Теорему доведено.

Т. Для довільного дійсного і дов векторів мають місце співвідношення:

1) — комутативність

2) — сполучна

3) — розподільна

Д. 1)

2) = . Т. д.

Скалярний добуток застосов. для виявлення ортогональних прямих в евклідовому просторі.

О. Векторний добуток в-ра на називається вектор , такий що задовільняє умовам:

1) ;

2) і ;

3) утворюють праву трійку. Позначабть век доб .

Т.1.(Геом власт векторного добутку) Векторний добуток двох не нульових векторів =0 тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.

Д. 1) і - колінеарні. Можливі випадки: =0 і =180. В обох випадках sin цих кутів =0. Тому =0 Отже, век доб цих векторів =0.

2) Нехай век доб цих векторів =0. Тоді =0. Це можливо тоді, коли sin =0. Тому =0 або 180. Звідки і колінеарні.

Т2. Якщо вектори і зведені до спільного початку, то модуль векторного добутку = площі паралелограма побудованого на цих векторах, як на сторонах (геом зміст).

Справедливість теореми випливає з формули .

Алгебраїчні властивості

Антикомутативна: = .

Сполучна відносно скалярного множника , .

Дистрибутивна властивість відносно відносно

Т. Якщо і задані своїми координатами то відносно базису

=

Д.

Т.д.

Застосування. : у фізиці — механічна робота, магнітний потік. : момент сили, тангенціальна та кутова поверхні.

О. Мішаним або векторно-скалярним добутком 3 впорядкованих векторів , і наз. Скалярний добуток вектора на вектор .

.

Т.Якщо , , задані своїми координатами , в ортонормованому базисі, то їх мішаний добуток = визначнику 3-го порядку, рядками якого є координати цих векторів.

Д. .

Т. Абсолютна величина мішаного добутку трьох векторів = об’єму паралелепіпеда, побудованого на них, віднесених до спільного початку. При цьому , якщо трійка , , - права, , якщо трійка , , - ліва і 0, якщо , , - компланарні.

Система координат в 3-вимірному просторі. Перетворення системи координат.

Точка О — початок координат, а координатні вектори. Напрямлені прямі, що проходять через початок координат і паралельні коорд векторам, на яких додатній напрям визначається цими векторами, наз коорд осями. Це осі абсцис, ординат і аплікат . Площини, що визначаються поч коорд і осями наз координатними площинами і позначаються .

Нехай т М — т простору. Вектор — радіус-вектор т М відносно О. Координати в-ра в базисі наз координатами т М.

Число – абсциса, – ордината, – апліката. Пишуть т : . Для побудови т в системі за її коорд користуються формулою: . Від початку координат відкладають вектор , від точки відладають век і від точки — . За правилами многокутника: . М — шукана точка.

Ламану наз коорд ламаною. Якщо виконується рівність: . Век лінійно залежні, тому колінеарні. Це означає, що т .

Аналогічно , то що т осі абсцис . т осі ординат . т осі аплікат .

Кожна координата вектора = різниці відповідних координат кінця і початку вектора.

Нехай і , то : , де — точка, що ділить відрізок у відношенні . .

Сис коорд наз прямокутною декартовою або декартовою, якщо базис цієї сис є ортонормованим. Таку сис коорд з початком в т О позначають так: або , де . . Нехай в прямокутній сис коорд задано т. і , які мають координати і . Обчислим відстань між ними. Оскільки за формулою , то враховуючи, що : .

Формули переходу.

Розглянемо в просторі дві афінні сис коорд і . Нехай т простору: в старій сис , в новій . Завдання полягає в тому щоб, знаючи , , , (1) в старій сис виразити координати т М через тієї ж точки М в новій системі. За озн. коорд. в-рів з (1): . За правилом трикутника: , , , ; (2)

Ф-ли (3) наз. ф-лами перетворення афінної сис. координат. З цих ф-мул отримуючи ф-ли перетворення координат при переході від до .

, , - ф-ли парал. перенесення.

, , - ф-ли при повороті.

Розглянемо перет. прямок. сис. коорд. При переході від до іншої , можна використати ф-ли (3). Матриця переходу від базису до має вигляд: .

Сума квадратів кожного рядка матриці , сума добутків відповідних елем. 2-х її різних стовпців =0, така матриця наз. ортогональною.

Теорія прямих на площині.

Напрямленим вектором прямої будемо наз. довільний ненульвий в-тор паралельний до цієї прямої.

На прямій виберемо довільну т. М , яка наз. біжучою т. прямої. В-ри і компланарні. Їх коорд. пропорційні (1) — загальне рівняння прямої.

Рівняння прямої задане напрямленим вектором, яка проходить через задану точку має вигляд: .

Т. Для того, щоб пряма задана заг. р-ням проходила через поч. коорд. Н. і Д. , щоб .

Д. 1) . Поч. коорд. належить цій прямій. З другого боку, якщо пряма проходить через поч. коорд. тоді і т. задовільняє цю рівність, а це можливо тоді коли .

2) — пряма паралельна

3) — пряма належить осі

4) — пряма паралельна Ох

5) — пряма належить осі Ох

.

Т. Для того, щоб (1) і (2) співпадали Н. і Д., щоб коеф. в р-нях були пропорційні.

.

Нехай належить прямим, тоді має місце (3), (4). З (3) і (4) . Отже, якщо р-нями (1) і (2) задана одна і та ж пряма, то коеф. в цих р-нях пропорційні.

— умова паралельності двох прямих.

— р-ня прямої, що проходить через дві точки.

d не парал. до j, тому . парал до (1) або . .

— величина напрямленого кута між додатнім напрямком осі абсцис і .

; . — нормальне р-ня прямої .(2)

(3)

Оскільки (2) і (3) — одна і та ж пряма, то . , .

Знак протил. до знака вільного члена в (2).

О. Під відстанню від т. до прямої будемо розуміти довжину опущеного з цієї т. на пряму.

О. Відхиленням т. від прямої будемо наз. число (відстань від т. до прямої), якщо т. і т. знаходяться по один бік від .

Т. Якщо т. має коорд. , а пряма задана нормальним р-ням , то відхилення т. від цієї прямої задається: . — параметричне р-ня прямої.

О. Під кутом між прямими розуміють менший з двох кутів, які утворюють ці прямі.

Пучок прямих можна подати в такий спосіб: .