ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Высказывания и высказывательные формы

12 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя чужой естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но что бы математические предложения были достоверными, правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными.

Но как узнать, истинное или ложное значение заключено в том или ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с ним связанные, мы попытаемся ответить в данном параграфе. А сейчас, коротко заметим, что каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой (структурой), причем содержание неразрывно связанно с формой, и нельзя осмысливать первое, не понимая второго. В связи с этим изучение математических предложений в главе “Элементы логики” будет в основном связанно с раскрытием логической структуры математических предложений.

Высказывания и высказывательные формы

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) число 12 – четное;

2) 2 + 5 > 8;

3) х + 5 = 8;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Видим, что предложения, используя в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.

Определение. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 – высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное.

Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «л».

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.

Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формыи обозначают: А(х), А(х, у) и т.д. Например, предложение «Прямая х параллельна прямой у» - двухместная.

Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные могут содержаться неявно. Например, в предложения «Число четное», «Две прямы пересекаются» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х - четное», «Две прямые х и у пересекаются».

Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества Х.

Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5;∞). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.

Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда Т⊂Х.

Предложения, которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения. Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны». Естественно возникает вопрос: как определить значение истинности таких высказываний и находить множество истинности таких высказывательных форм?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо познакомиться с некоторыми логическими понятиями.

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» или словосочетание «неверно, что». Слова «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.

Приведем примеры составных предложений.

1) Число 28 четное и делится на 7.

Это предложение образовано из двух элементарных: “число 28 четно”, “число 28 делится на 7”с помощью логической связки “и”.

2) Число х меньше или равно 8.

Это предложение образованно из двух элементарных: “число меньше 8”, “число x меньше 8” с помощью логической связки “или”.

3) Число 14 не делится на 4.

Это составное высказывание образовано из предложения “число делится на 4” с помощью частицы “не”.

Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что все три предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре – простые. Не всегда, но так бывает: простое предложение по своей логической структуре может быть составным.

А как определять значение составного высказывания ? Например, истинно или ложно высказывание “число 28 делится на 7 и на 9”? Элементарное высказывание “число 28 делится на 7” входящее в составное, истинное – это известно из начального курса математики. Второе элементарное высказывание “число 28 делится на 9” – ложное (и это нам известно). А каким будет в этом случае значение истинности составного высказывания, образованного из этих высказываний с помощью союза “и”? Ответить на этот вопрос можно, если знать смысл этого союза. Но так как составные высказывания образуются с помощью и других логических союзов, то возникает необходимость в уточнении их смысла.

Кроме того, уточнение смысла используемых в математике связок обусловлено их неоднозначным толкованием в обыденной речи, что может привести к неоднозначному ответу при нахождении значения истинности составных высказываний.

Итак, значение истинности элементарного высказывания определяют, исходя из его содержания с опорой на известные знания. Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Для выявления логической структуры составного предложения нужно установить:

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2) с помощью каких логических связок оно образованно.

Выявим, например, логическую структуру предложения “Если углы вертикальные, то они равны”. Оно состоит из двух элементарных предложений: предложения А – “углы вертикальные” и предложение В – “углы равны”. Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки “если …, то …”. Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): “если А, то В”.

Упражнения

1. Среди следующих предложений, рассматриваемых в начальном курсе математики, укажите высказывания и определите их значение:

а) (12-7)*(6+3)=45;

б) (15+12):3>10;

в) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;

г) (12-x)*4=24;

д) среди четырехугольников есть такие, у которых все стороны равны;

е) число z – двузначное;

ж) произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174;

з) число 6 является корнем уравнения (12 – х) × 4=24.

2. Какие предложения из упражнения 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них значение переменной так, чтобы получилось:

а) истинное высказывание;

б) ложное высказывание.

3. Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:

а) х² – 2х;

б) 7×4+2=30;

в) 4х +2у;

г) 7×4 +2 < 30?

4. Найдите множество истинности высказывательной формы 2х – 10 < 0, заданной на множестве Х, если:

а) X=R;

б) X=N;

в) X=(0,1,2,3,4,5,6,7)

5. Изобразите на координатной прямой множество истинности каждого из предложений при условии, что все они заданы на множестве R:

а) x>2;

б) x≤3;

в) 2<x<6;

г) 2≤x<6;

д) 2<x≤6;

е) 2≤x≤6.

Как можно записать, используя общепринятые символы, множество истинности каждого из данных предложений?

6. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих предложений при условии, что х, у принадлежат R:

а) x=y

б) y=2x

в) x=2

г) y=2

д) y=2x+3

е) y=2x-3

7. В следующих составных предложениях выделите составляющие их элементарные предложения и логические связки:

а) В равнобедренном треугольнике АВС биссектриса ВD является медианой и высотой;

б) х≥7;

в) Если запись числа оканчивается цифрой 0, то число делится на 5;

г) Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны;

д) Неверно, что число 17 делится на 3;

е) Если a*b = 0, то а = 0 или b=0.

8. Какова логическая структура (форма) следующих предложений:

а) Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине;

б) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6;

в) Треугольник АВС не является равносторонним.

9. Приведите примеры математических предложений, имеющих логическую структуру вида:

а) А и В;

б) А или В;

в) если А, то В.

10. Покажите, что выполнение учащимися начальных классов следующих заданий связано с понятием высказывательной формы, области ее определения и множества истинности:

а) Из ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выпишите, которые делятся на 3;

б) Назови все числа, меньшие 7 (имеются в виду только целые неотрицательные числа).

12 3