ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Пример 2 Интерполяционный многочлен Ньютона с разделёнными разностями

123

Известна зависимость между длиной и прочностью волокон хлопка, которая приведена в таблице.

, мм	7,5	9,0	10,0	14,5
, г

Требуется определить длину волокон, отвечающих прочности .

Порядок действий при решении

1) Составить программу вычисления разделённых разностей, учитывающую значения табулированной функции, номер значения функции (начинается с нуля) и порядок разделённой разности.

На экране

2) Составить программу для определения значений интерполяционного многочлена Ньютона с разделёнными разностями.

3) Задать табулированную функцию в виде матрицы и ввести выражения

, для вычисления значений в точках .

На экране

Ответ:прочности 150 г соответствует длина волокна хлопка 5,6 мм, а прочности 210 г – 9,4 мм.

Интерполирование сплайнами

Сплайном называется функция, определённая на отрезке интерполирования и имеющая на нём непрерывную производную - го порядка, которая на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом степени не выше . При этом хотя бы на одном из частичных отрезков степень многочлена точно равна .

Сплайн, для которого выполняются условия (1), называется интерполяционным.

Простейшим примером сплайна является кусочно-линейная функция , называемая сплайном первой степени (линейным сплайном).

На практике широко применяют сплайны третьей степени (кубические сплайны). Для построения интерполяционного кубического сплайна разобьём отрезок на равных частичных отрезков длиной . В этом случае кубический сплайн на отрезке запишется в следующем виде

(5)

где - некоторые числа, причём .

Кубический сплайн (5) на каждом отрезке непрерывен вместе со своей первой производной, следовательно, они непрерывны всюду на отрезке . Выберем величины так, чтобы была непрерывна и вторая производная. Условие непрерывности второй производной в точках принимает вид системы уравнений, относительно коэффициентов

, . (6)

Число уравнений системы (6) (равное ) меньше числа неизвестных (равного ). Для однозначного определения коэффициентов добавляют два условия в виде ограничений на значения сплайна и его производных на концах отрезка , которые называют краевыми.

Наиболее употребительными являются следующие краевые условия:

1) - определяют фундаментальный кубический сплайн;

2) - если , то можно получить естественный кубический сплайн;

3) - применяется для периодической функции с периодом .

В системе Mathcad имеются следующие встроенные функции для осуществления интерполирования функции сплайнами:

1) lspline(vx,vy) – вычисляет вектор коэффициентов vs (вторых производных) линейного сплайна, построенного на векторах vx,vy;

2) pspline(vx,vy) – определяет вектор коэффициентов vs (вторых производных) параболического сплайна, построенного на векторах vx,vy;

3) сspline(vx,vy) – вычисляет вектор коэффициентов vs (вторых производных) кубического сплайна, построенного на векторах vx,vy;

4) interp(vs, vx,vy,x) – определяет значения интерполирующей функции для заданных векторов vs, vx,vy и заданного значения x.

123