ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Интерполяционный многочлен Ньютона с разделёнными разностями

ПЕНЗЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра «Прикладная математика и исследование операций в экономике»

Численные методы

Лабораторная работа №4

Интерполирование функций

Пенза, 2013

Цель работы: приобретение навыков интерполирования и экстраполирования таблично заданных функций различными численными методами

Оборудование: персональный компьютер,программаMathcad.

Теоретическая часть

При решении многих задач приходится рассматривать функции, заданные таблично. Пусть известны значения функции только для некоторых значений аргумента.

				...
				...

Конечное множество точек на оси называется сеткой, а составляющие сетку точки называются узлами сетки. Расстояние между соседними узлами называется шагом сетки . Если все шаги равны, то сетка называется равномерной, в противном случае – неравномерной.

Основная задача интерполяции состоит в вычислении значений табулированной функции в неузловых точках оси (интерполяция, если ; экстраполяция, если ).

Рисунок 1 – Интерполяция функции

Задача интерполяции решается с помощью интерполяционной функции

,

которая удовлетворяет условиям

(1)

т.е. интерполяционная функция должна принимать заданные значения в узлах сетки (рисунок 1).

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассмотрим полиномиальную интерполяцию, которая осуществляется при помощи многочленов, степень которых на единицу меньше числа узлов (шаг сетки может быть постоянным и непостоянным)

.

Чтобы найти коэффициенты интерполирующего многочлена, необходимо решить систему уравнений

(2)

где , .

Многочлен, коэффициенты которого определяются из системы (2), называется интерполяционным многочленом Лагранжа для функции и имеет вид

Если обозначить , то интерполяционный многочлен Лагранжа можно записать компактным образом (3)

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

где .

Рассмотрим два частных случая многочлена Лагранжа.

1) При - линейная интерполяция, определяемая уравнением прямой, проходящей через две заданные точки

2) При - квадратичная интерполяция, уравнение параболы имеет вид

.

Пример 1 Интерполяционный многочлен Лагранжа

При изучении количества предложений на мебельном рынке получены следующие величины стоимости мягкой мебели (руб.).

Требуется определить стоимость мебели для числа предложений . Построить графики функции и интерполирующего многочлена.

Порядок действий при решении

1) Задать значения узлов сетки и значения функции в виде векторов , .

2) Присвоить переменной размерность вектора , введя выражение , затем задать пределы изменения индексов , .

3) Ввести формулу интерполяционного многочлена Лагранжа .

4) Для определения значений функции в точках , задать выражения , .

На экране

5) Для построения графиков функции и интерполирующего многочлена задать пределы изменения индекса и переменной и выполнить построение графиков.

На экране

Ответ:25 предложений мягкой мебели по цене 10413,3 руб. и 43 предложения по 12050 руб.

Интерполяционный многочлен Ньютона с разделёнными разностями

Этот интерполяционный многочлен строится на произвольной сетке и является наиболее удобным и универсальным при решении задач интерполяции и экстраполяции.

Разделённые разности первого порядка вычисляются по формуле .

Разделённые разности второго порядка определяются выражением

.

Общее выражение разделённой разности ого порядка имеет вид

, ( .

Интерполяционный многочлен Ньютона с разделёнными разностями, удовлетворяющий условиям (1), имеет вид

(4)

Погрешность формулы (4) равна

где .