ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Алгебраические критерии устойчивости

Для исследования устойчивости объекта обычно используют следующие методы:

– алгебраические;

– корневые;

– частотные.

Алгебраические критерии устойчивости

Метод Гурвица

Среди алгебраических методов анализа устойчивости наиболее распространен метод Гурвица. Для оценки устойчивости системы алгебраическими методами используют коэффициенты ее характеристического уравнения. Линейная система может быть описана дифференциальным уравнением

a₀y⁽ⁿ⁾(t) + a₁y^(n–1)(t)+...+ a_n–1y(t) + a_n = b₀x^(m)(t)+ b₁x^(m–1)(t) +...+ b_m–1x(t) + b_m.

Изображение по Лапласу уравнения, описывающего систему,

(a₀sⁿ + a₁s^n–1 +...+ a_n–1s + a_n)×y(s) = (b₀s^m + b₁s^m–1 +...+ b_m–1s + b_m)×x(s).

Характеристическое уравнение объекта

a₀sⁿ + a₁s^n–1 +...+ a_n–1s + a_n = 0.

Из коэффициентов характеристического уравнения составляется матрица Гурвица

. (4.1)

Формируется она следующим образом: в диагональ сверху вниз, слева направо последовательно проставляют коэффициенты a₁, a₂, …, a_n. Затем от любого члена диагонали вдоль столбцов вверх проставляют коэффициенты с возрастанием индекса, а вниз – коэффициенты с убыванием индекса. В случае отсутствия в характеристическом уравнении коэффициента с необходимым индексом вместо него в матрицу ставят нуль.

Далее рассчитывают главный определитель матрицы Гурвица D_n и его диагональные миноры D₁, …, D_n–1:

причем D_n = a_nD_n–1.

Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a₀, то есть при a₀ >0 ∆₁ > 0; ∆₂ > 0; ∆₃ > 0;...; ∆_n > 0.

Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то получатся следующие условия устойчивости:

1) n = 1; a₀s + a₁ = 0; условия устойчивости: a₀> 0; a₁ > 0.

2) n = 2; a₀s² + a₁s + a₀ = 0; условия устойчивости: a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0.

3) n = 3; a₀ s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0; условия устойчивости:

a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; a₃> 0; a₁a₂ – a₀a₃ > 0.

Граничные случаи. Например, при а_n > 0 равен нулю предпоследний определитель Гурвица Δ_n. Соответственно, будет равен нулю и последний определитель. Если при этом остальные определители положительны, то объект находится на колебательной границе устойчивости.

Критерий И.А. Вышнеградского

Геометрический образ зависимости устойчивости от параметров системы называется областью устойчивости. Понятие области устойчивости было введено в рассмотрение профессором Вышнеградским.

Удобно рассматривать область устойчивости в пространстве параметров системы с характеристическим уравнением a₀s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0.

Вышнеградский произвел преобразование этого уравнения в уравнение s³ + Аs² + Вs + 1 = 0 и сформулировал критерий устойчивости.

Система, описываемая характеристическим уравнением третьего порядка:

устойчива, если при А > 0 и В > 0 произведение параметров А×В > 1, где

, ; (4.2)

неустойчива, если при А > 0 и В > 0 А×В < 1;

находится на границе колебательной устойчивости, если при А > 0 и В > 0 А×В = 1.

В плоскости параметров A и В граница области устойчивости представляет собой гиперболу, называемую гиперболой Вышнеградского (рис. 4.1). Область устойчивой работы отмечена штриховкой.

Рис. 4.1. Гипербола Вышнеградского

Устойчивость замкнутой системы

Для определения устойчивости замкнутой системы ее охватывают единичной отрицательной обратной связью и определяют устойчивость с помощью рассмотренных критериев.

Критерий устойчивости Рауса

Критерий устойчивости Рауса наиболее просто поясняется табл. 4.1, где

D(s) = а₀×sⁿ + а₁×s^n–1 + ... + а_n–1×s + а_n – характеристический полином.

Таблица 4.1. Критерий устойчивости Рауса

В первой строке записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс, во второй − нечетный индекс.

Любой другой коэффициент таблицы определяется как

c_k,i = c_k+1,i–2 – r_ic_{k+1, i–1}, (4.3)

где r_i = c_1,i–2/c_1,i–1; k – номер столбца; i – номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица – (n + 1).

После заполнения таблицы можно сделать следующее суждение об устойчивости системы согласно условию устойчивости Рауса.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при a₀ > 0 были положительными числа:

с₁₁ = a₀ > 0; c₁₂ = a₁ > 0; c₁₃ > 0; ...; c_{1,n + 1} > 0.

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий очень удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения, очень легок для программирования на ЭВМ и нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость коэффициентов уравнения либо отдельных параметров системы.

Задание 4.1

Определить устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением 3y¢¢¢(t) + 2y¢¢(t) + 7y¢(t) + 4y(t) = x¢¢(t)+ 2x¢(t) + 4x(t).

Решение

Характеристическое уравнение системы 3s³ + 2s² + 7s + 4 = 0.

Главный определитель Гурвица

; .

= 4×(2×7 – 3×4) = 4×(14 – 12) = 4×2 = 8 > 0.

Его миноры:

, ; Δ₂ = 2×7 – 3×4 = 14 – 12 = 2 > 0.

, .

Таким образом, все коэффициенты характеристического уравнения положительны, главный определитель Гурвица и его миноры также положительны. Это означает, что система устойчива.

Задание 4.2

Определить устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением 3y¢¢¢(t) + 2y¢¢(t) + 7y¢(t) + 4y(t) = x¢¢(t)+ 2x¢(t) + 4x(t), с помощью критерия Вышнеградского и изобразить координаты критериев A, B в области устойчивости.

Характеристическое уравнение системы 3s³ + 2s² + 7s + 4 = 0.

= 1,9261, = 0,6057, A×B = 1,9261×0,6057 = 1,1667.

Координаты значений критериев A, B изображены на рис. 4.2, откуда можно сделать вывод, что согласно критерию Вышнегорадского система устойчива.

Рис. 4.2. Определение устойчивости системы согласно критерию Вышнеградского

Задание 4.3

Определить устойчивость замкнутой и разомкнутой системы по известной передаточной функции разомкнутой системы

.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

s³ + 2s² + 4s – 2 = 0.

Разомкнутая система неустойчива, так как не выполняется необходимое условие устойчивости: положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Передаточная функция замкнутой системы

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы s³ + 2s² + 4s + 3 = 0.

Так как a₁a₂ > a₀a₃, 2×4 > 1×3, то в соответствии с критерием Гурвица система устойчива.

Задание 4.4

Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему, если характеристическое уравнение имеет вид

D(s) = 3s⁴ + 5s³ + 2s² + 7s + 10 = 0.

Из коэффициентов уравнения составляется таблица Рауса (табл. 4.2).

Таблица 4.2. Расчет критерия Рауса

Система неустойчива, так как знаки коэффициентов первого столбца различны: а₀ > 0, a₁ > 0, с₁₃ < 0, с₁₄ > 0, с₁₅ > 0.

Контрольные вопросы:

1. Какие методы используют для исследования устойчивости объекта?

2. В чем заключается метод исследования устойчивости Гурвица?

3. Каким образом строится матрица Гурвица?

4. Каким образом рассчитывается главный определитель матрицы Гурвица и его диагональные миноры?

5. Дайте определение критерию Гурвица.

6. В каких случаях согласно критерию Гурвица можно говорить о границе устойчивости объекта?

7. В чем заключается критерий устойчивости Вышнеградского?

8. Дайте понятие области устойчивости.

9. Каким образом рассчитывают вспомогательные параметры А и В в критерии Вышнеградского?

10. Каким образом определяют устойчивость замкнутой системы?

11. В каком случае для определения устойчивости объекта предпочтительнее использовать критерий Рауса, а не критерий Гурвица?

12. В чем заключается критерий Рауса?

13. Каким образом в результате расчетов согласно критерию Рауса можно судить об устойчивости или неустойчивости систем?

Практическая работа 5