ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Теоретико-множественный смысл произведения и частного натуральных чисел

Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого.

Теорема. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство.Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через аob. И, кроме того, положим, что а o 1 = а. Тогда по определению суммы имеем:

а o (b+ 1) = .

Значит, операция аob обладает теми же свойствами, что и умножение, определенное в аксиоматической теории, а именно, а o 1 = а и а o (b + 1) = а o b + а.

В силу единственности умножения получаем, что a o b = а ∙ b.▀

Итак, получаем следующее определение умножения целых неотрицательных чисел.

Определение. Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а ∙ b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а ∙ b = , если b > 1;

2) а ∙ b = а, если b = 1;

3) а ∙ b = 0, если b = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множествен­ную трактовку. Если множества А₁, А₂, ..., А_b, имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁ А₂ ... А_b , содержит а ∙ b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а ∙ b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а ∙ b = п (А₁ А₂ ... А_b) ,

если п (А₁) = п (А₂) = ... = п (А_b ) = а и А₁, А₂, ..., А_b попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А₁) = n(А₂) = n(А₃) = 4, то n(А₁ А₂ ... А_b ) = n(А₁) + n (А₂) + n(А₃) = 4 + 4 + 4 = 4 ∙3. Произведение 4∙3 является матема­тической моделью данной задачи. Так как 4 ∙3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем вы­полняется равенство: п(А×В) = п(А) ∙ п(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а ∙ b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.

а ∙ b = п(А) ∙ п(В) = п(А × В ).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоре­тико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл коммутативности умножения а ∙ b = b ∙ а состоит в том, что хотя множества А×В и В×А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множе­ства А × В можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества В × А, и каждая пара из множества В ×А сопоставляется только одной паре из множества А × В. Значит, n(А × В) = n(В ×А) и поэтому а ∙ b = b ∙ а.

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ассоциативного свойства умножения. Множества А × (В × С) и (А × В) × С различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, (b, с)) из множества А × (В × С) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (А × В) × С , и каждая пара из множества А × (В × С) сопоставляется единственной паре из множества (А × В) × С. Поэтому n(А × (В × С)) = n((А × В) × С ) и, следовательно, а(bс) = (а b)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А × (В С) = (А ×В) (А × С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства А× (В \С)= (А × В)\ (А ×С).