ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Теоретико-множественный смысл разности

В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с, удовлетворяющее условию b + с = а.

Выясним, каков смысл разности целых неотрицательных чисел, если рассматривать ее с теоретико-множественных позиций.

Рассмотрим множество В={c, d, e}. Пусть оно является подмножеством множества А={a, b, c, d, e}. Если удалить его из множества А, останется конечное множество А\B={a, b}. Полученное множество состоит из двух элементов. Таким образом, если n(A)=5, n(B)=3 и В А, то 5-3=2, где 2=n(A\B), т.е. разность чисел 5 и 3 является числом элементов в дополнении множества В до множества А. Аналогично обстоит дело и в общем случае.

Теорема.Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство п(А\В) = п(А) -п(В).

Доказательство. Множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А)=n(В)+n(А\В), откуда, по определе­нию вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(А\В) =n(А) - n(В).

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля,а также вычитание а из а. Так как А\Ø =А, А\А =Ø, то а-0=а и а-а=0.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций разность целых неотрицательных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, т.е. если а = n(А), b = n(В) и В А:

а - b = n(А) - n(В) = n (А\В), если B A, B≠A, B≠Ø.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычита­ния: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревь­ев; множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В А, то n(С) = n(А\В) = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель дан­ной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила:

«Если а, b , с - натуральные числа и а > с, то (а + b ) - с = (а - с) + b».

Пусть А, В и С - такие множества, что n(А) = а, n(В) = b и А В = Ø, С А (См. рисунок).

Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство

(А В)\С = (А\С) В.

Но n((А В)\С) = n(А В) - n(С) = (а + b) - с, а

n((А\С) В ) = n(А\С) + n(В) = (а - с) + b.

И следовательно, (а + b ) - с = (а - с) + b, если а > с.

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на»и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») есте­ственным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а = n(А), b = n(В) и установлено, что а < b, то, исходя из тео­ретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В₁, равномощное множе­ству А, и непустое множество В\В₁. Если число элементов в множестве В\В₁ обозначить через с (с ≠ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: n(В) = n(В) + n(В\В₁) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»).

Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что если а = п (А), b = п(В), то в множест­ве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.

Так как с = n(В\В₁), где В₁ В, п(В) = b, п(В₁ ) = а, то, по определению разности, с = а - b. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вы­честь меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента.

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В₁) + n(В\В₁) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.