 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Лекция 3. Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел
1. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа, нуля и отношения "меньше". 2. Теоретико-множественный смысл суммы и разности натуральных чисел. 3. Теоретико-множественный смысл произведения и частного натуральных чисел. 1. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа, нуля и отношения "меньше" Введя понятие отрезка натурального ряда на прошлой лекции, мы выяснили, что счет элементов конечного множества приводит к числу количественному. Используя теоретико-множественные понятия, можно разъяснить смысл количественного натурального числа, не связывая его со счетом. Сделаем это в рамках так называемого теоретико-множественного подхода к числу. Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = n(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов. Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств. Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата. Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n(Ø). Итак, натуральное числоа как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций: 1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = n(А), причем А ~ Nа; 2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше». В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом: а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b. Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nb, т.е. Nа Тем самым отношение «меньше» получает теоретико-множественное истолкование: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nb: а< b Так, справедливость неравенства 3 < 7 вытекает из того, что {1,2,3} Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b». Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду. Однако сравнение чисел (особенно небольших) часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными множествами.
Рис. 1 Например, если 3 - это число квадратов на рисунке 1, а 7 - число кружков на этом рисунке, то 3 < 7, потому что во втором множестве можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству квадратов. Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из трактовки отношения «меньше», данной выше: множество квадратов равномощно отрезку N3, а множество кружков - отрезку N7 и N3 В общем виде рассмотренный подход к определению отношения «меньше» можно обосновать следующим образом: Пусть а = n(А), b = n(В), и а < b. Тогда А ~ Nа, В ~ Nb и Nа Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством». Теоретико-множественный смысл неравенства 0 < а, истинного для любого натурального числа а, связан с тем, что пустое множество является подмножеством любого отрезка Nа (или любого такого множества А, для которого а = n(А)). Заметим, что приведенные трактовки отношения «меньше» основываются на понятии подмножества конечного множества. Так как в реальной жизни мы, как правило, имеем дело с конечными множествами, то наш опыт говорит о том, что и любое подмножество конечного множества - конечно. Однако с математической точки зрения этот факт нуждается в доказательстве. |
Nb и Nа ≠ Nb. Справедливо и обратное утверждение: если Nа - собственное подмножество Nb, , то а < b.
Nа 