ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА. ЕЕ СВОЙСТВА

2.1. Функция (интеграл вероятностей) Лапласаимеет вид:

График функции Лапласа приведен на рис.5.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. 1 приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Лапласа:

1) Функция Ф(х) нечетная: Ф(-х)= -Ф(х).

2) Функция Ф(х) монотонно возрастающая.

3) Ф(0)=0.

4) Ф(+¥)=0,5; Ф(-¥)=-0,5. На практике можно считать, что при х³5 функция Ф(х)=0,5; при х£-5 функция Ф(х)=-0,5.

2.2.Существует другие формы функции Лапласа:

и

В отличие от этих форм функция Ф(х) называется стандартной или нормированной функцией Лапласа. Она связана с другими формами соотношениями:

ПРИМЕР 2.Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами: m=3, s=4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х: а) примет значение, заключенное в интервале (2; 6); б) примет значение, меньше 2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится от математического ожидания на величину, не превышающую 2. Проиллюстрировать решение задачи графически.

Решение.а) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х попадет в заданный интервал (a,b), где a=2 и b=6, равна:

Значения функции Лапласа Ф(х) определяют по таблице, приведенной в приложении, учитывая, что Ф(–х)= –Ф(х).

б) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение меньше 2, равна:

в) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение больше 10, равна:

г) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=2, равна:

С геометрической точки зрения, вычисленные вероятности численно равны заштрихованным площадям под нормальной кривой (см. рис.6).

Рис. 6. Нормальная кривая для случайной величины Х~N(3;4)
ПРИМЕР 3.Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Решение.Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю m=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=15, равна:

ПРИМЕР 4. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.

Решение.Случайная величина Х - отклонение диаметра шарика от проектного размера. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е. М(Х)=m=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=0,7, равна:

Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

ПРИМЕР 5.Доказать правило «3s».

Решение.Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=3s, равна:

ПРИМЕР 6.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m=10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?

Решение.Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m=10, поэтому площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как площади численно равны вероятностям попадания Х в соответствующий интервал, то: