ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Операции над вероятностями.

123

Суммой п случайных событий называют случайное событие, обозначаемое А₁+А₂+А₃+...+Ап, имеющее место, если произойдет хотя бы одно из этих событий. Например, А=«1-й снег выпал в сент.», В=«1-й снег выпал в окт.», С=«1-й снег выпал в нояб.». Тогда событие (А+В+С)=«1-й снег выпал осенью».

Произведением п случайных событий называют случайное событие, обозначаемое А₁·А₂·А₃·...·Ап, имеющее место, если произойдут все эти события. Например, А=«в аудит. вошел студ.», В=«вошел студ.в очках», тогда АВ=«в ауд. вошел студ.в очках».

Событием, противоположным А, назовем событие, состоящее в том, что А не произошло ( ). Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: р(А) +р( ) = 1 или р( )=1-р(А).

Например, поражение или непоражение при выстреле мишени - противоположные события.

р(А +В) =р(А) + р(В) - р(А·В) – здесь нам неизвестно р(А·В). Но иногда р(А·В)=0

1)Если А и В не могут произойти одновременно, т.е. А·В невозможное событие, т.е. они несовместимы, тогда р(А·В)=0. Если события А, В попарно несовместимы, то р(А +В) =р(А) +р(В)

Пример. В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200р., 100 — по 100р., 500 — по 25р. и 1000 выигрышей по 5р. Какова вероятность того, что 1 билет выиграет не меньше 25р.?

Обозначим события:

А — «выигрыш не менее 25 р.»,

А₂₅ — «выигрыш равен 25 р.», Р(А₂₅)= 0,05

А₁₀₀ — «выигрыш равен 100 р.», Р(А₁₀₀)= 0,01

А₂₀₀ — «выигрыш равен 200 р.», Р(А₂₀₀)= 0,001

Поскольку куплен только один билет, то А= А₂₅+А₁₀₀+А_200. Эти события попарно несовместимы, поэтому Р (А)=0,05 + 0,01 + 0,001 == 0,061.

2) Если А и В могут произойти одновременно, возникает вопрос: насколько наступление одного из них влияет на возможность наступления другого? Бывает, что хотя причинной связи нет, но некоторая зависимость все же присутствует.

Например, однократно бросают кубик. Событие А="выпало четное число очков"; событие В="выпало число очков, большее трех". Неверно утверждать, что одно из событий с неизбежностью влечет за собой другое. Но некоторая зависимость имеется. Действительно, всего м.б. шесть исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. А - исходы {2, 4, 6}, его вероятность равна 1/2, В - исходы {4, 5, 6). Из этих трех исходов ровно 2 (исходы 4 и 6) входят в событие А. Т. о., если событие В произошло, то вероятность события А равна 2/3.

Такая вер-ть назыв условной, и Df р(А /В). В данном примере р(А /В)=2/3.

Пример.В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным. А - "первый шар черный"; В - "второй шар черный". Если произошло событие А, то в урне осталось 6 шаров, из которых 3 черных ® искомая вероятность .

Пример. Для участия в соревнованиях выделили 9 спортсменов, среди которых 3 - мастера спорта, 3 1-рядники и 3 2-разрядники. Вызывается один спортсмен. Найти вероятность того, что он перворазрядник, если он не был мастером спорта.

Здесь имеет место условная вероятность, она равна: р (А/В) = ³/₆ =¹/_2.

3)События независимы - вероятность наступления события В не изменяется в зависимости от наступления или ненаступления события А.

Если события А, В независимы, то р(А·В) = р(А) · р(В) и

Пример.Соревнования по прыжкам в высоту. Вероятность успешного прыжка у 1-го р(А) = 0,8, а у второго р(В) = 0,9. Какова вероятность того, что оба возьмут предельную высоту?

Так как вероятность взятия предельной высоты не зависит друг от друга, то события А и В независимы. Следовательно, р(АВ) = р(А)· р(В) = 0,8· 0,9 = 0,72.

4)Если события А, В зависимы, то вероятность их совместного появления р(А·В) = р(А) · р(В/А)

Пример.Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что: а) вынуты два валета: А — «первая карта — валет», В — «вторая карта — валет».

Вероятность совместного появления этих событий, т.е. что вынуты два валета

р (А·В)= р(А) · р(B/A) = ⁴/₃₂ · ³/₃₁ = ³/_248.

б) вынуты две карты пиковой масти: С — «первая карта пик», D — «вторая карта пик».

Вероятность совместного появления этих событий, т.е. что вынуты два карты пиковой масти:

р (C·D)= р(C) · р(D/C) = ⁸/₃₂ · ⁷/₃₁ = ⁷/_124.

в) вынуты валет и дама: А — «первая карта — валет», Е — «втораякарта — дама».

Вероятность совместного появления этих событий, т.е. что вынуты валет и дама:

р (А·E)= р(А) · р(E/A) = ⁴/₃₂ · ⁴/₃₁ = ¹/_62.

Пример.(Тот же) Событие А={2, 4, 6}, р(А)=¹/₂, событие В={4, 5, 6} р(В)=¹/₂. р(А/В)=²/₃. р (В/А)=²/₃.

Теперь, событие С={1, 2, 4, 6}, р(С)=⁴/₆=²/₃, р(А/С)=²/₄ =¹/₂ и р(С/А)= ²/₃ ® р(А/С)= р(А) и р(С/А)= р(С), значит, А и С независимы.

Рассмотрим В и С: р(В)=¹/₂ ≠ р(В/С)=¹/_4. р(С)=²/₃≠р(С/В)=¹/₄. ® В и С зависимы.

Есть ряд событий: А₁, А₂, А₃, ...Ап. Полная группа событий - это совокупность единственно возможных событий опыта, для которой сумма вероятностей отдельных событий А₁,А₂,...,А_п, образующих полную группу, равна единице: р(А₁) + р(А₂) +... + р(А_п) = 1

ИТАК.Если события А, В попарно совместимы, то р(А +В) =р(А) +р(В) - р(А·В).

Пример.Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна р(А) = 0,6, а вторым р(В) = 0,4. Какова вероятность того, что экзамен сдаст хотя бы один студент?

События А и В не составляют полную группу событий (++ +- -+ --). Значит, эти события совместимы: р(А + В) = 0,6 + 0,4 - 0,6·0,4 = 0,76.

Пример. Определить вероятность того, что при бросании двух монет хотя бы один раз выпадет орел. А –орел на 1 монете, В – на 2 монете. События А и В не составляют полную группу событий (оо рр ор ро). Значит, эти события совместимы: р(А + В) = ¹/₂ + ¹/₂ – ¹/₄ = ³/₄.

Пример. Определить вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

А - 6 очков при бросании первой игральной кости и В - то же, но для второй игральной кости. События А и В не составляют полную группу событий, т.е. А и Всовместны,

Р(А+ В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = ¹/₆ + ¹/₆ – ¹/₃₆ = ¹¹/₃₆.

5)Если есть ряд событий: А₁, А₂, А₃, ...Ап, независимых друг от друга, то

Пример. 4 стрелка одновременно стреляют. Вер. попадания 0,7; 0,75; 0,7; 0,65. Чему равна вер. поражения цели (хотя бы одним стрелком)?

Р(А₁)=0,7 Р(А₂)= 0,75 Р(А₃)=0,7 Р(А₄)= 0,65. Цель будет поражена, т.е. произойдет событие

А₁+ А₂+ А₃+ А_4. = 1-0,3·0,25·0,3·0,35= 0,992125.

Пример. Через остановку пролегают троллейбусный и автобусный маршруты. Трол. подъезжает через каждые 15м. автобус — через каждые 25м. К остановке подходит пассажир. Какова вероятность того, что в ближайшие 10м. на остановке появится троллейбус либо автобус?

1 способ.Вероятность того, что троллейбус появится на остановке в ближайшие 10 минут: р(Т)=¹⁰/₁₅=²/₃.

Вероятность того, что автобус появится на остановке в ближайшие 10 минут: р(А)=¹⁰/₂₅=²/₅.

Вероятность того, что появится автобус или троллейбус: р(А+Т)= .

2 способ.Пассажир не уедет в ближайшие 10м.: . Вероятность, что он уедет 1-¹/₅=⁴/₅.

3 способ.Можно было воспользоваться формулой: .

Пример.Студент пришел на зачет, зная 15 вопросов из 20. Если он не отвечает, то может взять 1 раз другой вопрос. Какова вер. сдать зачет?

А₁ - вер. взять знакомый вопрос с 1 попытки

- вер. взять незнакомый вопрос с 1 попытки

А₂ - вер. взять знакомый вопрос с 2 попытки

- вер. взять незнакомый вопрос с 2 попытки

1 способ. Вероятность сдать зачет: р(А)=р(А₁)+ р( )·р(А₂/ )=¹⁵/₂₀ + ⁵/₂₀ · ¹⁵/₁₉= ¹⁸/_19.

2 способ.Вероятность не сдать зачет: р( )= р( )·р( / )=⁵/₂₀ · ⁴/₁₉= ¹/₁₉ ® р(А) = ¹⁸/_19.

6) Формула полной вероятности. Имеется группа несовместимых событий В₁, В₂, … В_п и некоторое событие А, подразделяющегося на частные случаи А·В₁, А·В₂, ..., А·В_п так, что . Тогда Это и есть формула полной вероятности.

Пример.В доме 5 дверей. «А» - человек вошел в дом. «В_i» - человек вошел через i-ю дверь. События В_i несовместимы. Событие А это сумма А·В₁+ А·В₂+ .... Значит, р(А)= р(А·В₁) + р(А·В₂) +… (т.е. он вошел или через 1 дверь, или ….) = р(А/В₁) · р(В₁) + р(А/В₂) · р(В₂) + … Это и есть формула полной вероятности.

Пример.5 винтовок, на 3 из которых были оптические прицелы. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; для винтовки без оптического прицела она равна 0,55. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если курсанту будет предложена наугад взятая винтовка.

Из условия примера можно записать:

p(B₁) = 0,9 - вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом;

р(А/В₁) = 3/5 = 0,6 - вероятность, что выбрана винтовка с оптическим прицелом;

р(В₂) = 0,55 - вероятность поражения мишени из обычной винтовки;

р(А/В₂) = 2/5 = 0,4 - вероятность выбора обычной винтовки.

Тогда искомая вероятность будет равна: р(А) = 0,9 · 0,6 + 0,55·0,4 = 0,76.

7) Формула Байеса.

Если требуется найти вероятность события B_i когда известно, что А произошло и определено формулой . Тогда, используя теорему умножения, получим: р(В_i ·А)= р(А) · р(В_i /А) = р(В_i) · p(A/B_i),

откуда , здесь выражениер(А) - формула полной вероятности, подставив выражение которой в данное выражение, получим: , i и j =1,…n.

Это и есть формула Байеса в общем виде.

Пример.Для пред. задачи:5 винтовок, на 3 из которых были оптические прицелы. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; для винтовки без оптического прицела она равна 0,55. Найти, что вероятнее: будут стрелять из винтовки с оптическим прицелом или без него?

- больше.

Пример.5% мужчин и 0,25% женщин страдают дальтонизмом. И муж., и жен. – одинаковое кол-во. 1)Какова вер-ть того, что наугад выбранный человек – дальтоник?

В₁ – выбран мужчина. В₂ – выбрана женщина. А – человек-дальтоник. Надо найти р(А).

р(В₁)= р(В₂)=0,5. p(A/B₁)=0,05 (5%). p(A/B₁)=0,0025 (0,25%).

По формуле полной вер. получим р(А) = 0,05 · 0,5 + 0,0025·0,5 = 0,02625.

2)Какова вер-ть того, что это человек – мужчина? Надо найти р(В₁/А).

По формуле Байеса .