ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Электронная формула водорода

1 234 5

Посылки и вывод

Тест № 10.

конъюнкция	нестрогая дизъюнкция	строгая дизъюнкция	импликация (прямая импликация)	репликация (обратная импликация)	эквиваленция (двойная импликация)
а Ùв	а Ú в	а Ú в	а ® в	а в	а ↔в
1, 3, 12, 17, 25.	6, 7, 11, 21, 26.	2, 8, 16, 23, 28.	10, 14, 18, 22, 29.	4, 13, 20, 27.	5, 9, 15, 19, 24.

Список.

1. Ни берёз, ни дубов мы больше не встретим. 2. Дождь то начинал хлестать крупными каплями, то переставал. 3. С поезда сошли мы да какой-то старик. 4. Будете у нас на Колыме, заходите в гости. 5. Движение парусника было возможно лишь тогда, когда дул ветер. 6. Он учится в институте или на курсах иностранных языков. 7. Студент ленив, или у него отсутствуют способности. 8. Добраться до места можно пешком или на каком-нибудь транспорте. 9. Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%. 10. Если я устал, то не могу готовиться к экзаменам. 11.Вы, наверняка, видели этого человека вчера или хотя бы слышали о нём. 12. Если раньше мы считали себя специалистами, то теперь стали во всём сомневаться. 13. Если Вы были в Париже, то видели Лувр. 14. Поедешь направо, коня потеряешь. 15. Если объёмы понятий полностью совпадают, то эти понятия равнозначные. 16. По реке плывёт не то лодка, не то бревно. 17. Поиски длились уже три часа, но результатов не было. 18. Если эта фигура – квадрат, то диагонали в ней равны. 19. Если эта фигура – квадрат, то она является прямоугольным ромбом. 20. Если нам удастся спастись, то устроим пир горой. 21. Может пойти дождь или снег. 22. Шторма бояться – в море не ходить. 23. Действие может быть продуманным, либо импульсивным. 24. Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники. 25. Хоть редко, да метко. 26. Вы можете сейчас оставить мне записку или вечером позвонить по телефону. 27. Если фирма платежеспособна, то целесообразно заключить с ней сделку. 28. В магазине или есть мороженое или его нет. 29. Если птицы улетают в тёплые края, значит, наступила осень.

Таблица Банк условных умозаключений.

Чисто условные умозаключения

Условно-категорические умозаключения

Условно-разделительные умозаключения (дилеммы)

Транзитивность

Модусы с использованием контрапозиции

Достоверные модусы

Вероятностные модусы

Простые дилеммы

Сложные дилеммы

Чистая транзитивность

Модусы последовательного преобразования

Чистая контрапозиция

Утверждающий модус (Modus ponens)

Отрицающий модус (Modus tollens)

Утверждающий вероятностный модус

Отрицающий вероятностный модус

Простая конструктивная дилемма

Простая деструктивная дилемма

Сложная конструктивная дилемма

Сложная деструктивная дилемма

1 посылка

a ® b

2 посылка

b ®c

ù a ® c

c®ù b

–

ù b

ù а

c ® b

a ® c

c ® d

3 посылка

–

aÚ c

ù bÚ ù c

aÚ c

ù bÚ ù d

Вывод

а®с

1ù b®c 2ù c®b

1a®ù c 2c®ù a

ù b®ù а

ù а

Вероятно а

Вероятно ù b

ù a

bÚ d

ù aÚ ù c

Примеры модусов условных умозаключений.

	a ® b b ®c а®с	Если данное деяние – мошенничество, то оно – преступление. Если оно преступление, то карается по закону. Следовательно, если данное деяние – преступление, то оно карается по закону.
	a ® b ù a ® c 1ù b®c 2ù c®b	Если это деяние – преступление, то оно карается по закону. Если это деяние не является преступлением, то Уголовный Кодекс к нему не применим. 1. Следовательно, если деяние не карается по закону, то Уголовный Кодекс к нему не применим. 2. Следовательно, если к деянию применим Уголовный Кодекс, то деяние карается по закону.
	a ® b c®ù b 1a®ù c 2c®ù a	Если человек обманул кого-то, то его мучает совесть. Если человек считает себя правым, то муки совести его не беспокоят. 1. Если человек обманул кого-то, он не считает себя правым. 2. Если человек считает себя правым, то он никого не обманывал.
	a ® b ù b®ù а	Если по проводнику пустить электрический ток, то он нагреется. Следовательно, если проводник не нагрелся, то по нему не пускали электрический ток.
	a ® b a b	Если число оканчивается нулём, то оно делится на 5. Число 3570 оканчивается нулём. Следовательно, число 3570 делится на 5.
	a ® b ù b ù а	Если число оканчивается нулём, то оно делится на 5. Число x не делится на 5. Следовательно, число x не оканчивается нулём.
	a ® b b Вероятно а	Если число оканчивается нулём, то оно делится на 5. Число x делится на 5 Вероятно, что число x оканчивается нулём.
	a ® b ù а Вероятно ù b	Если число оканчивается нулём, то оно делится на 5. Число x не оканчивается нулём. Вероятно, что число x не делится на 5.
	a ® b c ® b aÚ c b	Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги. Если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги. Я могу идти по мосту или вброд. В любом случае, меня могут обнаружить.
	a ® b a ® c ù bÚ ù c ù a	Если у ребёнка корь, то у него высокая температура. Если у ребёнка корь, то на коже у него сыпь. У ребёнка нет высокой температуры и нет сыпи. Следовательно, у ребёнка не корь.
	a ® b c ® d aÚ c bÚ d	Если я пойду по лестнице во время пожара, то могу сгореть. Если я выпрыгну в окно, спасаясь от огня, то могу разбиться. Но оставаться нельзя (я либо пойду по лестнице, либо выпрыгну в окно). Следовательно, я могу сгореть или разбиться.
	a ® b c ® d ù bÚ ù d ù aÚ ù c	Если Петров честен, то, не выполнив задания, признается в этом. Если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу. Но Петров не признался и не сделал задания к следующему разу. Следовательно, Петров не честен или не добросовестен.

1.2.2 Разделительные умозаключения.

Разделительным называется умозаключение, в котором хотя бы одна посылка является разделительным (дизъюнктивным) суждением.

Различают чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения. Каждый из видов имеет несколько рабочих модусов, которые представлены в таблице.

Банк разделительных умозаключений.

	Чисто разделительные умозаключения	Разделительно-категорические умозаключения
Утверждающе-отрицающий модус (Modus ponendo tollens) Только строгая дизъюнкция.	Отрицающее-утверждающий модус (Modus tollendo ponens) В первой посылке должны быть перечислены все возможные варианты.
Строгая дизъюнкция	Нестрогая дизъюнкция
1 посылка	S есть A или B, или С	а Ú в	а Ú в	а Ú в	а Ú в	а Ú в	а Ú в
2 посылка	А есть А₁ или А₂	а	в	ù а	ù в	ù а	ù в
Вывод	S есть А₁ или А_2, или В, или С	ù в	ù а	в	а	в	а

Примеры разделительных умозаключений.

	S есть A или B, или С А есть А1 или А2 S есть А1 или А2, или В, или С	Есть наземный транспорт, водный и воздушный. Наземный транспорт ходит по земле и под землёй. Значит, точнее сказать, что есть наземный, подземный, водный и воздушный транспорт.
	а Ú в а ù в	Иванов постоянно проживает в Москве или Архангельске. Он постоянно проживает в Москве. Следовательно, он не проживает постоянно в Архангельске.
	а Ú в в ù а	Иванов постоянно проживает в Москве или Архангельске. Он постоянно проживает в Архангельске. Следовательно, он не проживает постоянно в Москве.
	а Ú в ù а в	Ребёнок, который родился у Петровых либо девочка, либо мальчик. Они сказали, что не девочка. Значит, точно мальчик.
	а Ú в ù в а	Ребёнок, который родился у Петровых либо девочка, либо мальчик. Они сказали, что не мальчик. Значит, точно девочка.
	а Ú в ù а в	Эта фирма брала на работу только очень хорошеньких девушек или талантливых программистов. Он не был хорошенькой девушкой. Значит, он был очень талантливым программистом.
	а Ú в ù в а	Эта фирма брала на работу только очень хорошеньких девушек или талантливых программистов. Она отнюдь не была талантливым программистом. Значит, была очень хорошенькой девушкой.

Определения

Чисто условное умозаключение — умозаключение, в котором обе посылки и заключение являются условными суждениями. Вывод в этом умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствие основания.

Условно-категорическое умозаключение — умозаключение, в котором одна из посылок — условное, а другая посылка и заключение — категорические суждения. Из четырех модусов этого умозаключения, исчерпывающих все возможные комбинации посылок, достоверные заключения дают два: утверждающий (modus ponens) и отрицающий (modus tollens). Они называются правильными модусами. Для них действует правило: утверждение основания ведет к утверждению следствия и отрицание следствия — к отрицанию основания. Два других модуса (от отрицания основания к отрицанию следствия и от утверждения следствия к утверждению основания) достоверных заключений не дают. Они называются неправильными модусами и подчиняются правилу: отрицание основания не ведет с необходимостью к отрицанию следствия и утверждение следствия не ведет с необходимостью к утверждению основания.

Разделительно-категорическое умозаключение — умозаключение, в котором одна из посылок — разделительное, а другая посылка и заключение — категорическое суждение. В утверждающе-отрицающем модусе (modus ponendo tollens) меньшая посылка (категорическое суждение) утверждает один из дизъюнктов, заключение отрицает другой (других) дизъюнкты. Заключение достоверно, если соблюдается правило: большая посылка должна быть исключающе-разделительным суждением (суждением строгой дизъюнкции). В отрицающе-утверждающем модусе (modus tollendo ponens) меньшая посылка отрицает один (или несколько) из дизъюнктов, заключение утверждает оставшийся дизъюнкт. Заключение достоверно, если соблюдается правило: в большей посылке должны быть перечислены все возможные суждения — дизъюнкты, иначе говоря, большая посылка должна быть полным (закрытым) дизъюнктивным высказыванием.

Сокращенный силлогизм (энтимема) — силлогизм с пропущенной посылкой или заключением.

≡≡Таблица сложения, умножения, имплицирования, эквиваленциирования

И Ù И= И	И Ú И= И	И ® И=И	И¹ И= Л	И« И= И	ØИ= Л
И Ù Л=Л	И Ú Л=И	И ® Л=Л	И ¹Л= И	И «Л= Л	ØЛ= И
ЛÙ И=Л	ЛÚИ=И	Л ®И=И	Л ¹И= И	Л «И= Л
ЛÙ Л=Л	ЛÚ Л=Л	Л ® Л=И	Л ¹Л= Л	Л «Л= И

	И Ù И= И
	И Ù Л=Л
	ЛÙ И=Л
	ЛÙ Л=Л
	ØИ= Л
	ØЛ= И
	И Ú И= И
	И Ú Л=И
	ЛÚИ=И
	ЛÚ Л=Л
	И ® И=И
	И ® Л=Л
	Л ®И=И
	Л ® Л=И
	И¹ И= Л
	И ¹Л= И
	Л ¹И= И
	Л ¹Л= Л
	И« И= И
	И «Л= Л
	Л «И= Л
	Л «Л= И

			И ¹Л= И	А
			Л ¹И= И	А
			ØЛ= И	В
			И Ú И= И	В
			И ® Л=Л	В
			И« И= И	В
			Л ¹Л= Л	Г
			ЛÙ И=Л	Еее
			И Ú Л=И	Л
			И Ù И= И	Н
			И Ù Л=Л	О
			И¹ И= Л	О
			Л ® Л=И	П
			И ® И=И	Р
			ØИ= Л	Сссл
			И «Л= Л	Цф
			ЛÚ Л=Л	Цы
			ЛÙ Л=Л	Чспт
			Л «И= Л	Ш
			ЛÚИ=И	Ы
			Л ®И=И	Ы
			Л «Л= И	ы

			И ¹Л=	И
			Л ¹И=	И
			ØЛ=	И
			И Ú И=	И
			И ® Л=	Л
			И« И=	И
			Л ¹Л=	Л
			ЛÙ И=	Л
			И Ú Л=	И
			И Ù И=	И
			И Ù Л=	Л
			И¹ И=	Л
			Л ® Л=	И
			И ® И=	И
			ØИ=	Л
			И «Л=	Л
			ЛÚ Л=	Л
			ЛÙ Л=	Л
			Л «И=	Л
			ЛÚИ=	И
			Л ®И=	И
			Л «Л=	И

1.И ¹Л≡ 2.Л ¹И≡ 3.ØЛ ≡ 4.И Ú И ≡ 5.И ® Л ≡ 6.И« И ≡ 7.Л ¹Л ≡ 8.ЛÙ И ≡ 9.И Ú Л ≡ 10.И Ù И ≡ 11.И Ù Л ≡ 12.И¹ И ≡ 13.Л ® Л ≡ 14.И ® И ≡ 15.ØИ ≡ 16.И «Л ≡ 17.ЛÚ Л ≡ 18.ЛÙ Л ≡ 19.Л «И ≡ 20.ЛÚИ ≡ 21.Л ®И ≡ 22.Л «Л ≡

1.И 2.И 3.И 4.И 5.Л 6.И 7.Л 8.Л 9.И 10.И 11.Л 12.Л 13.И 14.И 15.Л 16.Л 17.Л 18.Л 19.Л 20.И 21.И 22.И

А	В	А Ù В	А Ú В	А ¹ В	А ® В	А « В	А	ØА
И	И	И	И	Л	И	И	И	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

A	В	(А Ú В)	(А & В)	Ø(А & В)	((А Ú В) & Ø(А & В))	(А Ñ В)
и	и	и	и	л	л	л
и	л	и	л	и	и	и
л	и	и	л	и	и	и
л	л	л	л	и	л	л

	Пример	Название	Чтение формулы
1.1. A É B, A ├ B	Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура. Человек болен.	modus ponens	От утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) переходим к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания: Если А, то В. А. Следовательно, В.
1.2. A É B, Ø B ├ Ø A	Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Гелий — не металл.	modus tollens	Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.
1.3. A É B, B É C ├ A É C	Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека.	транзистивность импликации — B'	Если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго — истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого. Если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).
1.4. ├ (B É C) É ((A É B) É (A É C))	Если верно, что вы хорошо разбираетесь в теоретическом материале, то вы легко выполняете практические задания, то посещая лекции вы хорошо разбираетесь в теоретическом материале и следовательно, посещая лекции легко выполняете практические задания.	второй принцип транзистивности импликации — B	Импликация, содержащая в качестве антецедента импликации, а в качестве консеквента импликацию импликаций с одинаковыми антецедентами, а консеквенты являются антецедентом и консеквентом первой импликации.
1.5. ├ (A É (A É B)) É (A É B)	Если верно, что если по проводнику пустить ток, то благодаря этому току он нагреется, то, пустив ток, проводник нагревается.	сокращение — W
1.6. ├ (A É (B É C)) É (B É (A É C))	Если верно, что если ходишь на лекции, то, параллельно посещая семинары, получишь зачёт, то если ходить на семинары, то, параллельно посещая лекции, получишь зачёт.	перестановка — C
1.7. ├ A É A	Если трава зеленая, то она зеленая, если трава черная, то она черная.	закон тождества — I	Всякое высказывание влечет (имплицирует) само себя. А в том и только том случае, если А. закон тождества выражает тождество между понятием и суммой его признаков.(Кргу 1770-1842)
1.8. ├ A É (B É A)	Если на улице светло, то светло из-за солнца.	закон утверждения консеквента — K	Импликация содержит в качестве консеквента импликацию, содержащую в качестве консеквента антецедент первой импликации.
1.9. ├ ((A É B) É A) É A)	Если верно что, пуская ток, проводник нагревается благодаря этому току, то надо пустить ток.	закон Пирса	Импликация содержит в качестве антецедента импликацию, содержащую в качестве антецедента импликацию.
1.10. ├ (A É (B É C)) É ((A É B) É (A É C))	Если верно, что если ходишь на лекции, то, параллельно посещая семинары, получишь зачёт, то если для семинаров необходимы записи лекций, то, посещая лекции, получишь зачёт.	самодистрибутивность импликации — S
1.11. A & B ├ B & A	Подул ветер, и деревья закачались.	коммутативность конъюнкции	А и В
1.12. A & (B & C) ├ (A & B) & C	Пошел дождь, и пассажиры заняли свои места, и поезд тронулся.	ассоциативность конъюнкции	А и (В и С)
1.13. (A & B) É C ├ A É (B É C)	Если верно, что если ходить на лекции и на семинары, то получишь зачет, то если ходить на лекции, то, посещая семинары, получишь зачет.	экспортация	Импликация, содержащая в себе в качестве антецедента конъюнкцию, эквивалентна импликации содержащую в качестве антецедента Iч. конъюнкции в качестве консеквента импликации, где антецедент – член конъюнкции, а консеквент – к Iч. импликации
1.14. A É (B É C) ├ (A & B) É C	Если верно, что если ходить на лекции, то, посещая семинары, получишь зачет если ходить на лекции и на семинары, то получишь зачет.	импортация	Импликация, содержащая в себе в качестве антецедента конъюнкцию эквивалентна импликации содержащую в качестве антецедента Iч. конъюнкции в качестве консеквента импликации где антецедент – член конъюнкции а консеквент – к Iч. импликации
1.15. A & B ├ A	Есть возможность поехать поездом или полететь самолетом, мы не поехали поездом значит, мы полетели самолетом.	удаление первого конъюнкта	Исключение второго конъюнкта дает 1 член конъюнкции
1.16. A & B ├ B	Есть возможность поехать поездом или полететь самолетом, мы не поехали поездом значит, мы полетели самолетом.	удаление второго конъюнкта	Исключение первого конъюнкта дает 2 член конъюнкции
1.17. A, B ├ A & B	Есть лекции, есть семинары необходимо их одновременное выполнение.	введение конъюнкции	Объединение двух условий в конъюнкцию
1.18. A É (A Ú B)		введение дизъюнкции
1.19. B É (A Ú B)		введение дизъюнкции
1.20. A Ú B ├ B Ú A	Он способен или он прилежен. либо Он прилежен или он способен.	коммуникативность дизъюнкции	Высказывание «A или В» истинно в том и только в том случае, когда истинно по крайней мере одно из составляющих его высказываний, и ложно, когда оба составляющие его высказывания ложны.
1.21. A Ú (B Ú C) ├ (A Ú B) Ú C	Число может быть положительным или отрицательным или нулем, значит, число может быть положительным или отрицательным или нулем.	ассоциативность дизъюнкции	А или (В или С), значит, (А или В) или С.
1.22. A Ú B, Ø A ├ B	На улице сейчас день или ночь, сейчас не день, значит, сейчас ночь.	tollendo ponens	А или В, не А, значит, В.
1.23. ├ (A & (B Ú C)) É ((A & B) Ú (A & C))	Если на улице идет снег и на улице холодно или очень холодно, то либо на улице идет снег и холодно, либо на улице идет снег и очень холодно.	законы дистрибутивности	Если А и (В либо С), то (А и В), либо (А и С).
1.24. ├ (A Ú (B & C)) É ((A Ú B) & (A Ú C))	Завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег тогда и только тогда, когда завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег.	законы дистрибутивности	Если А или (В и С), то (А, либо В) и (А, либо С).
1.25. ├ ((A & B) Ú (A & C)) É (A & (B Ú C))	Если на улице не лето и идет снег или на улице не лето и холодно, значит, на улице не лето и идет снег или холодно.	законы дистрибутивности	Если ((А и В) или (А и С), значит, (А и (В или С).
1.26. ├ ((A Ú B) & (A Ú C)) É (A Ú (B & C))	Если завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег, значит, завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег.	законы дистрибутивности	Если ((А или В ) и (А или С)), значит, (А или (В и С)).
1.27. A É B, A É C ├ A É (B & C)	Если животное – собака, то оно легко поддается дрессировке. Если животное – собака, то она« друг человека». Если это животное – собака, то оно легко поддается дрессировке, и оно является «другом человека».	законы дистрибутивности	А есть В, А есть С, значит, А есть В и С.
1.28. ├ (A Ú B) É ((A É B) É B)	Если темно или село солнце, то, если бывает темно, только когда садится солнце, значит, оно село.	дизъюнкция и конъюнкция	Если (А и В), то ((А означает, что В), значит, В).
1.29. ├ ((A É B) É B) É (A Ú B)	Если идет дождь, показывающий, что на улице сыро, значит, на улице сыро, то на улице сыро и идет дождь.		Если ((А означает В), значит, В), то (А и В).
1.30. ├ ((A É B) É B) É ((B É A) É A)	Если мне холодно говорит о том, что я мерзну, значит, я мерзну, то я мерзну, говорит о том, что мне холодно, значит, мне холодно.		Если ((А означает В), значит, В), то ((В означает А), значит, А).
1.31. ├ Ø (A & Ø A)	Неверно, что завтра будет дождь и завтра не будет дождя.	закон противоречия	Отрицание А и не А.
1.32. ├ A Ú Ø A	Или я сижу, или я не сижу.	закон исключенного третьего	Или А, или не А. «Истинность и ложность противоречащих предложений несовместима» Вольф устанавливает следующее выражение для рг. exclusi tertii: «Propositionum contradictoriarum altera necessario vera» [4]. А есть или В, или non В. Всякая вещь есть или А, или не А. А есть или b, или не b. „за всяким субъектом один и тот же предикат можно или признавать, или отрицать" (Шопенгауэр )
1.33. Ø Ø A Ú ├ A	Если неверно, что это не телефон, значит это телефон.	снятие двойного отрицания	Отрицание не А эквивалентно А.
1.34. A ├ Ø Ø A	Если это клавиатура, значит это не есть неклавиатура.	введение двойного отрицания	А эквивалентно отрицанию не А.
1.35. A É B, A É Ø B ├ Ø A	Я сын папы, если я не сын папы, значит это не я.	введение отрицания
1.36. Ø (A & B) ├ Ø A Ú Ø B (~ (p & q) = (~ p v~q))	Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо.	законы де Моргана	отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний неверно, что р и q, если и только если неверно р и неверно q
1.37. Ø A Ú Ø B ├ Ø (A & B) ~ (p v q) = (~ p & ~ q)	Верно, что завтра не будет философии и не будет логики тогда, и только тогда, когда завтра не будет философии и логики.	законы де Моргана геометрии	Дизъюнкция отрицаний А и В эквивалентна отрицанию конъюнкции А и В.
1.38. Ø (A Ú B) ├ Ø A & Ø B	Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии.	законы де Моргана	отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний. неверно, что или р, или q, если и только если неверно р и неверно q
1.39. Ø A & Ø B ├ Ø (A Ú B)	Если сегодня не будет дождя и не будет снега, значит, сегодня не будет дождя или снега.	законы де Моргана	Конъюнкция отрицаний эквивалентна отрицанию дизъюнкции.
1.40. A É B ├ Ø A Ú B		выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание	Импликация эквивалентна дизъюнкции, содержащей отрицательный антецедент.
1.41. Ø A Ú B ├ A É B		выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание	Дизъюнкция, содержащая отрицательный антецедент эквивалентна импликации.
1.42. A É B ├ Ø (A & Ø B)		выражение импликации через конъюнкцию и отрицание	Импликация эквивалентна отрицательной конъюнкции с отрицательным консеквентом.
1.43. Ø (A & Ø B) ├ A É B		выражение импликации через конъюнкцию и отрицание
1.44. A & B ├ Ø (A É Ø B)		выражение конъюнкции через импликацию и отрицание
1.45. Ø (A É Ø B) ├ A & B		выражение конъюнкции через импликацию и отрицание
1.46. Ø (A É B) ├ A & Ø B		связь конъюнкции и импликации
1.47. A & Ø B ├ Ø (A É B)		связь конъюнкции и импликации
1.48. Ø (A É B) ├ A É Ø B
1.49. A É B ├ Ø B É Ø A		контрапозиция
1.50. Ø B É Ø A ├ A É B	Проводник нагревается, если по нему течет ток. Если не течет ток, значит, проводник не нагревается.	обратная контрапозиция	Импликация отрицаний эквивалентна обратной импликации утверждений.
1.50.* (A & B) É C ├ (A & Ø C) É Ø B	Если есть телевизор и ток в сети, значит, он показывает. Если есть телевизор и он не показывает, значит, нет тока.	сложная контрапозиция	Импликация, содержащая конъюнкцию в качестве антецедента эквивалентна импликации содержащей конъюнкцию элементов, которые являются отрицанием консеквента
1.51. A É C, B É C, A Ú ├ C	Если есть истопленная печка, есть тепло. Если есть хорошие дрова, тоже будет тепло.	простая конструктивная дилемма
1.52. A É C, B É D, A Ú B ├ C Ú D	Пожар. Если идешь по коридору - отравишься дымом; если прыгать в окно – сломаешь ногу. Нужно либо в коридор, либо в окно. Следовательно, либо отравишься дымом, либо сломаешь ногу.	сложная конструктивная дилемма	Дизъюнкция антецедентов двух импликаций эквивалентна дизъюнкции их консеквентов.
1.53. A É B, A É C, Ø B Ú Ø C ├ Ø A	Если есть огонь, то есть жар. Если есть огонь, то есть дым; Если нет ни жара ни дыма, значит нет огня.	простая деструктивная дилемма	Дизъюнкция отрицаний консеквентов двух импликаций эквивалентна отрицанию их общего антецедента.
1.54. A É B, D É C, Ø B Ú Ø C ├ Ø A Ú Ø D	На улице светит солнце, значит солнечный день. Печка истоплена – дома будет тепло. Если на улице не светло или дома не тепло значит, на улице не светит солнце или печь не истопили.	сложная деструктивная дилемма	Дизъюнкция отрицаний консеквентов двух импликаций эквивалентна дизъюнкции отрицаний антецедентов.
1.55. ├ (A É B) Ú (B É A)	Если Шамиль сильнее, то он победит Наджибулу. ИЛИ Если Наджибула сильнее, то он победит Шамиля.	закон линейности	Дизъюнкция прямой и обратной импликации.
1.56. ├ ((A É B) É (B É A)) É (B É A)		закон линейности	Импликация дизъюнкции прямой и обратной импликации и обратной импликации.
1.57. ├├ Ø A Ú Ø Ø A	Либо нельзя хвалить, либо нельзя не похвалить.	слабый закон исключенного третьего	Дизъюнкция отрицания и двойного отрицания.
1.58. (A É (B É C)) ├ (B É (A É C))	Если выборы состоятся, то если будет кандидат Сидоров, то я за него проголосую. Если кандидат Сидоров выдвинет свою кандидатуру, то если выборы состоятся, я за него проголосую.	закон перестановки антецедентов	Импликация, соединяющая в качестве консеквента другие импликации эквивалентные такой же импликации содержащей перестановку антецедентов.

Математическая логика

Решающим фактором в прогрессе логики была ее математизация (конец XIX – начало XX вв.). Математизация логики была порождена потребностями математики и осуществлена математиками. Разрыв между математикой и логикой был, наконец, преодолен. Расширив свой язык и математизировав его, логика стала пригодной для описания и исследования математического доказательства. С другой стороны, для решения логических проблем стали применяться математические методы.

Завоевав плацдарм в области математики, новая логика стала проникать в естественные науки и философию. При этом роль собственно математического элемента (использование математических моделей) упала. Тем не менее всю современную логику часто называют «математической» по причине ее языка и происхождения.

Объекты и высказывания

Прежде чем продвигаться дальше в анализе языка и мышления, нам надо дать краткий набросок современной логики. Для наших целей достаточно рассмотреть только язык современной логики и те понятия, которые связаны с языком. Понятия, связанные с логическим выводом (доказательством), мы пока оставим в стороне.

Современная логика делит все сущее на объекты (или предметы) и высказывания (или утверждения). В естественном языке высказывания изображаются предложениями или наборами предложений, а объекты — словами и словосочетаниями, входящими в состав предложения.

Примеры объектов: «цапля», «дядя Коля», «председатель колхоза».

Примеры высказываний: «цапля сдохла», «дядю Колю выбрали председателем колхоза».

Чаще всего объекты выражаются существительными, но это не обязательно. Например, «курить» — объект в высказывании «курить вредно». В приложении к математике объекты обычно называются термами, а высказывания соотношениями.

	Примеры объектов(термы)	Примеры высказываний(соотношения):
	«цапля», «дядя Коля», «председатель колхоза».	«цапля сдохла», «дядю Колю выбрали председателем колхоза».
	«курить» — объект в высказывании «курить вредно».
	3.14. ax² + bx + c. _a∫^bf(z)dz.	aх² + bx + c = 0. 0 < z < 1. Каково бы ни было натуральное число n > 1, найдется простое число р, которое является делителем числа n. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Примеры термов:

3.14.
ax² + bx + c.
_a∫^bf(z)dz.

Примеры соотношений:

aх² + bx + c = 0.
0 < z < 1.
Каково бы ни было натуральное число n > 1, найдется простое число р, которое является делителем числа n.
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Понятия «объект» и «высказывание» считаются в логике первичными, интуитивно ясными и неопределяемыми. Формальное различие между ними состоит в том, что о высказывании имеет смысл говорить, что оно является истинным или ложным. Так, третий и четвертый примеры математических соотношений представляют собой истинные высказывания, а первое и второе соотношения могут быть истинными или ложными в зависимости от значения переменных х и z. К объектам понятия истинности и ложности неприменимы.

Объекты и высказывания, которые считаются элементарными, т. е. не расчлененными на отдельные составные части, обозначаются в логике буквами. Объекты обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а высказывания — большими. Мы будем придерживаться этой символики, но дополнительно введем еще одно соглашение. Для ясности записи и уменьшения словесных пояснений будем иногда обозначать элементарные объекты и высказывания словами и словосочетаниями, взятыми в кавычки. Следовательно, словосочетания в кавычках будут рассматриваться на равных правах с буквами.

Объекты и высказывания, которые не являются элементарными, конструируются, очевидно, из других объектов и высказываний. Мы должны указать теперь способ конструирования.

При наличии двух типов элементов (объекты и высказывания) и предполагая, что элементы, служащие строительным материалом, принадлежат все к одному типу, мы получаем четыре возможных типа конструкций, которые мы сведем в следующую таблицу.

Что конструируется	Из чего конструируется	Название конструкции
Высказывание	Высказывания	Логическая связка
Высказывание	Объекты	Предикат
Объект	Высказывания	—
Объект	Объекты	Функция

Логические связки

Широко употребительных логических связок пять. Это отрицание (изображается знаком ), конъюнкция (знак ∧), дизъюнкция (знак ∨), импликация (знак ⊃) и эквивалентность (знак ≡).

Высказывание A	(читается «не A»)	означает, что высказывание A ложно.	Иначе говоря, A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.
Высказывание A & B	(читается «A и B»)	означает утверждение, что верно и A, и B.	Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B.
Высказывание A V B	(«A или B»)		верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B.
Высказывание A → B	читается «A влечет B» или «если A, то B».		Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.
Наконец, высказывание A ≡ B			в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Высказывание A V B («A или B») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B.

Высказывание A → B читается «A влечет B» или «если A, то B». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.

Наконец, высказывание A ≡ B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание A & B означает «A неверно, а B верно», а высказывание (A & B) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A ⊃ B ∧ C понимается как A ⊃ (B ∧ C), но не как (A ⊃ B) ∧ C. Это соответствует тому, что в алгебре a + b × c означает a + (b × c), но не (a + b) × c.

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» ∧ «цапля сохла» ∧ «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» ∧ «Z < 1», a соотношение |Z| > 1 — дизъюнкция «Z > 1» ∨ «Z < -1». Определение логической связки ≡ данное выше, можно записать так:

[(A ≡ B) ⊃ (A ∧ B) ∨ (A ∧ B)] ∧ [(A ∧ B) ∨ (A ∧ B) ⊃ (A ≡ B)]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен» ∧ «Лампочка не горит» ⊃ «Нет электричества» ∨ «Перегорели пробки» ∨ «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.

Предикаты

Конструкция, сопоставляющая нескольким объектам высказывание, называется предикатом. Предикаты делятся на одноместные, двухместные, трехместные и т.д. в соответствии с числом объектов, которого они требуют. Для записи их используют функциональные обозначения. Предикат можно записать в виде функции с незаполненными местами для аргументов, например

P( ), L( , ), I( , , )

или же в виде

P(x), L(z, y), I(x, y, z)

оговорив, что x, y, z — предметные переменные, т. е. символы, которые в конечном счете должны быть заменены на объекты, но какие — пока неизвестно. Впрочем, вторая форма изображает, строго говоря, уже не предикат, а высказывание, содержащее предметные переменные. Вместо больших букв мы будем также использовать словосочетания в кавычках, например,

«красный»(x), «между»(x, у, z)

и специальные математические знаки, например,

<(х, у).

Одноместный предикат выражает свойство объекта, предикат более чем с одним аргументом — отношение между объектами. Если места для аргументов в предикате заполнены, то мы имеем дело с высказыванием, утверждающим наличие данного свойства или отношения. Высказывание

«красный»(«мяч»)

означает, что «мяч» обладает свойством «красный». Конструкция

<(a, b)

равнозначна соотношению (неравенству) a < b.

Соединяя предикатные конструкции логическими связками, мы получаем более сложные высказывания. Например, соотношение |z| > 1, которое мы раньше записывали, не расчленяя высказываний на элементы, мы запишем теперь в виде

>(z, 1) ∨ <(z, -1).

Кванторы

В математике большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванторы: квантор всеобщности ∀ и квантор существования ∃. Допустим, что некоторое высказывание S содержит переменную (неопределенный объект) х, поэтому будем записывать его в виде S(x). Тогда высказывание

(∀x)S(x)

означает, что для всех х имеет место S(x), а высказывание

(∃x)S(x)

состоит в утверждении, что существует хотя бы один объект х такой, что для него верно высказывание S(x).

Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма

_i_=n∑ ^mS_i

не зависит от индекса i. Связанную переменную можно заменить любой другой буквой, не совпадаюшей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной. Высказывание зависит только от свободных переменных, которые оно содержит.

Примеры высказываний с кванторами:

(∀х)(∀у)(«брат»(х, у) ∧ «мужчина»(у)) ⊃ «брат»(у, x).
Для всякого х и всякого у, если х — брат у и у — мужчина, то у — брат x.
Если через D(x, y) обозначить высказывание «x является делителем у», то одно из соотношений, приведенных выше в качестве примера высказываний, изобразится в виде
(∀n)(>(n, «1») ⊃ (∃p)D(p, n)).
(∃x)W(x) ⊃ (∀x) W(x).
Это соотношение верно для любого высказывания W(x) и показывает, что имеет место связь между кванторами существования и всеобщности. Из существования объекта х, для которого верно W(x), следует, что неверно утверждение, будто для всех х W(x) неверно.

Квантор — это тоже в сущности логическая связка. Приписывание квантора превращает высказывание в новое высказывание, которое содержит на одну свободную переменную меньше. Отличие от связок, которое мы рассматривали выше, состоит в том, что, кроме высказывания, надо указать еще свободную переменную, которую надо связать. Связывание переменной подразумевает подстановку вместо нее конкретных объектов. Если число объектов, которые могут быть подставлены вместо переменной, конечно, то кванторы можно рассматривать просто как удобные сокращения, ибо они могут быть выражены через логические связки — конъюнкцию и дизъюнкцию. Пусть переменная х может принимать n значений, которые мы обозначим буквами х₁, х₂,..., x_n. Тогда имеют место следующие эквивалентности:

(∀x)W(x) ≡ W(x₁) ∧ W(x₂) ∧ ... ∧ W(x_n),

(∃x)W(x) ≡ W(x₁) ∨ W(x₂) ∨ ... ∨ W(x_n).

Связка «такой, что»

Третья строка таблицы, приведенной в разделе 6.6, описывает конструкцию, которая высказыванию сопоставляет объект. В естественных языках эта конструкция употребляется чрезвычайно широко. Когда мы говорим «красный мяч», мы имеем в виду объект «мяч», который обладает свойством «красный», т. е. такой, что верно высказывание «красный» («мяч»). Высказывание об объекте мы переносим в прилагательное, относящееся к существительному, которым мы обозначили объект, в других случаях для этой цели могут служить причастия, причастные обороты, обороты со связками «который», «такой, что». Если мы пойдем дальше в этом анализе, то обнаружим, что и существительное, подобно прилагательному, указывает в первую очередь на определенное свойство (свойства) объекта. Слово «мяч», как и слово «красный», изображает некоторый класс объектов и ему можно сопоставить одноместный предикат «является мячом»(х), или просто «мяч»(х). Тогда «красный мяч» это такой предмет a, что верны высказывания «мяч»(a) и «красный»(a), иначе говоря, верно высказывание

«мяч»(a) ∧ «красный»(a)

Обратите внимание: в логической записи фигурирует три независимых элемента — буква a, предметы «мяч» и «красный», а в записи на естественном языке их остается только два «красный» и «мяч». Однако буква a, которую в логическую запись вводят для того, чтобы идентифицировать данный объект, отличить его от других, и которую поэтому называют идентификатором, не совсем исчезла в естественной записи. Она перешла в понятие «мяч», превратив его из свойства в предмет! В отличие от слова «красный» слово «мяч» идентифицирует — вы можете сказать «это тот мяч, который мы потеряли вчера» или «я имею в виду тот самый мяч, о котором говорил в предыдущей фразе».

Что же такое «предмет»?

1 234 5