ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Пример решение задачи №2: Построение и исследование эконометрической модели магазина в виде линейной троичной регрессии

123

Постановка задачи №2

Торговая компания располагает семью магазинами типа«Промтовары»(для справки: этот тип в соответствии с /2, ГОСТ/ -предприятие розничной торговли, реализующее непродовольственные товары узкого ассортимента, основные из которых швейные и трикотажные изделия, обувь, галантерея, парфюмерия торговой площадью от 18 м²).

Компании планирует построить 8-й магазин с торговой площадью 1100 м², для чего она разрабатывает бизнес-план и, в частности, эконометрическую модель магазина.

На этой модели специалисты должны исследовать зависимость объема продаж (у - в десятках тыс.руб./день) от размера торговой площади (х1 – в сотнях м²) и от размера паркинга (х2 в десятках автомашин)

Единицы измерения выбраны с учетом достоверности данных и удобства вычислений.

Решение задачи №2

1) Нанести в координатах х₂у точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из таблиц 1.2-1.7. Из рисунке 3.1 видно, что прямая линия хорошо аппроксимирует связь между у и х₂. Эта связь прямая и очень тесная.

2) Записать для своего варианта матрицу Х значений объясняющих переменных (матрицу плана).

Решение. См.среднюю матрицу в п. 4.

3) Записать транспонированную матрицу плана .

Решение. См. левую матрицу в п. 4.

у









							х₂

Рисунок 3.1

2.4. Найти произведение матриц .

Решение.

5) Найти обратную матрицу ( )^-1.

Решение. Для краткости введем обозначение: А= . требуется найти обратную матрицу А^-1. Используем формулу:

где - определитель матрицы А,

– транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.

=7×120×79+24×96×21+21×96×24-21×120×21-96×96×7-79×24×24=192.

Находим алгебраические дополнения:

А₁₁ = 120 × 79 – 96 × 96 =264;	А₁₂ = -(24 × 79 – 96 × 21) = 120;
А₁₃ = 24 × 96 – 120 × 21 = -216;	А₂₁ = -(24 × 79 – 21 × 96) = 120;
А₂₂ = 7 × 79 - 21 × 21 = 112;	А₂₃ = -(7 × 96 – 24 × 21)= -168;
А₃₁ = 24 × 96 – 21 × 120 = -216;	А₃₂ = -(7 × 96 – 21 × 24) = -168;
А₃₃ = 7 × 120 – 24 × 24 = 264.

Обратная матрица:

Проверка. Если расчеты верны, то должно выполниться равенство:

А А^-1 = Е.

Для повышения точности множитель 1/192 введем отдельно.

Равенство выполнено, значит, расчет обратной матрицы выполнен верно.

6) Найти произведение матриц .

Решение.

7) Найти уравнение регрессии Y по Х₁ и Х₂ в форме =b₀+ b₁ х₁ + + b₂х₂ методом наименьших квадратов путем умножения матрицы ( )^-1 на матрицу , т.е. рассчитать коэффициенты регрессии по формуле b=( )^-1 .

Решение.

Итак, ответ: b₀ = -0,88; b₁ = 0,50; b₂ = 1,63. Уравнение множественной регрессии имеет вид: = -0,88 + 0,50x₁ + 1,63x₂.

8) Объяснить смысл изменения значения коэффициента регрессии b₁.

Решение. В задаче №1 значение b₁=1,54, а теперь его значение снизилось до b₁=0,50. Это связано с тем, что на объем продаж помимо торговой площади теперь влияет учитываемая площадь паркинга.

9) Рассчитать значения коэффициентов эластичности для обоих факторов и сравнить влияние каждого из них на средний объем продаж.

Решение. Коэффициент эластичности в общем случае есть функция объясняющей переменной, например:

Если то при увеличении х₁ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,30%. Аналогично при увеличении х₂ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,86%.

10) Оценить аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х₁=11 (1100 м²) и паркинговой площадью х₂ = 8 (80 автомашин).

Решение. Объем продаж рассчитаем по уравнению регрессии:

= -0,88 + 0,50 × 11 + 1,63 × 8 = 17,66.

11.а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ".

Решение. По условию нужно оценить значение М_х(Y), где вектор переменных . Выборочной оценкой условного МO М_х(Y) является значение регрессии (11, 8) = 17,66. Для построения доверительного интервала для М_х(Y) нужно знать дисперсию оценки и дисперсию возмущений s²:

Для удобства вычислений составим таблицу 3.1.

Таблица 3.1

i	x_i₁	x_i₂	y_i		e_i
				1,25	0,75	0,56
				2,88	0,12	0,02
				3.38	0,62	0,39
				5.51	-0,51	0,26
				6,01	-1,01	1,02
				8,14	-1,14	1,30
				12,90	1,10	1,21
∑				40,07	-0,07	4,76

На основе табличных данных:

По табл. П2 находим критическое значение статистики Стьюдента t_0,95_; _7-2-1=5 = 2,78. Полуинтервал D = t_0,95_; _5∙ = 2,78 × 1,46 = 4,05.

Нижняя граница интервала: _min = _Xo - D = 17,66 - 4,05 = 13,61.

Верхняя граница интервала: _m_ах = _Xo + D = 17,66 + 4,05 = 21,71. Окончательно доверительный интервал для среднего прогнозного значения _Xo : 13,61 £ М_Х_o(Y) £ 21,71. Интервал большой, что объясняется слишком короткой выборкой.

11.б) Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж магазина "СИ" .

Решение. Интервал рассчитаем по выражению:

где

Полуинтервал D = 2,78 × 1,82 = 5,06. Нижние и верхние границы интервала: _min = 17,66 - 5,06 = 12,60 и _max = 17,66 + 5,06 = 22,72. Окончательно интервал имеет вид: 12,60 £ £ 22,72. Как и следовало ожидать, данный индивидуальный интервал больше предыдущего среднего.

12) Проверить значимость коэффициентов регрессии.

Решение. Стандартная ошибка рассчитывается по формуле:

где выражение под корнем есть диагональный элемент матрицы ^-1.

Отсюда: s_b₁ = 1,09 = 1,28; s_b₂ =1,09 = 0,83.

Так как t = çb₁ç/ s_b₁ = 0,50/1,28 = 0,39 < t_0,95;4 = 2,78, то коэффициент b₁ незначим (незначимо отличается от нуля).

Так как t = çb₂ç/ s_b₂ = 1,63/0,83 = 1,96 < t_0,95;4 = 2,78, то и коэффициент b₂ незначим на 5%-ном уровне.

13) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов регрессии b₁ и b₂ и дисперсии s².

Решение. Интервалы коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле: b_j + t_1-_a_,_n_-_p_-1s_bj £ b_j £ b_j + t_1-_a_,_n_-_p_-1s_bj.

Поскольку оба коэффициента регрессии незначимы, то не имеет смысла строить для них доверительные интервалы.

14) Определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость уравнения регрессии на уровне a=0,05.

Решение. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

;

Уравнение регрессии значимо, если справедливо неравенство (критерий Фишера):

F = R² (n-p-1)/(1- R²) p > F_a_;k1;k2.

Отсюда F = 0,96(7-2-1)/(1-0,962)2 = 24,62 > F_0,05;2;4.

Вывод: уравнение значимо.

15) Определить, существенно ли увеличилось значение коэффициента детерминации при введении в регрессию второй объясняющей переменной.

Решение. Значения коэффициентов детерминации для регрессий с одной и с двумя объясняющими переменными соответственно равны: R² = 0,97 и R² = 0,96. Увеличения значения не произошло. Введение второй переменной не увеличило адекватность модели.

123