ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.

1 2 3 456

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила (рис. 42). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относительно центра О будет изображаться вектором перпендикулярным плоскости ОАВ, причем по модулю .

Рис.42

Проведем теперь через любую точку O₁ на оси z плоскость ху, перпендикулярную к оси; проектируя силу на эту плоскость, найдем .

Но треугольник О₁А₁В₁ представляет собою проекцию треугольника ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треугольников равен углу между перпендикулярами к плоскостям, т. е. равен . Тогда, по известной геометрической формуле, .

Умножая обе части этого равенства на 2 и замечая, что удвоенные пощади треугольников О₁А₁В₁ и ОАВ равны соответственно и , найдем окончательно: .

Так как произведение дает проекцию вектора на ось z, то равенство можно еще представить в виде

или .

В результате мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно какого-нибудь центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

Приведение пространственной системы сил к данному центру.

Полученные выше результаты позволяют решить задачу о приведении любой системы сил к данному центру. Эта задача, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы из точки А (рис. 43, а) в точку О прикладываем в точке О силы и . Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присоединена пара ( ) с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 43, б. При этом .

Рис.43

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил , ,…, (рис. 44, а). Выберем произвольную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , приложенной в той же точке. При этом или,

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или,

Как и в случае плоской системы, величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы относительно этого центра.

Рис.44

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 44, б).

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции вектора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По теореме о проекциях суммы векторов на ось будет или, . Аналогично находятся величины M_y и M_z.

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

Главный момент пространственной системы сил: M₀ = ΣM₀(P_i) - это вектор, модуль которого находится аналогично:

где M_x , M_y , M_z - суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей.

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

1) R₀ = 0, M₀ = 0 - система сил находится в равновесии;

2) R₀ = 0, M₀ ≠0 - система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R₀ ≠0, M₀ = 0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R₀ , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R₀, R~R₀ ;

4) R₀ ≠0, M₀ ≠0 и R₀ ⊥ M₀ - система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R₀ , ее линия действия проходит на расстоянии d = |M₀|/ R₀ от центра приведения.

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ - система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание.

Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона.

Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

1 2 3 456