ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Лекция 2 Динамика твердого тела. Законы сохранения

12 3 4 5 6

Лекция 1 Кинематика и динамика материальной точки

План

1. Элементы кинематики материальной точки. Скорость и ускорение точки. Нормальное и тангенциальное ускорения.

2. Элементы вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение, связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося тела.

3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Законы инерции и инерциальные системы отсчета. Законы динамики материальной точки и системы материальных точек.

Тезисы

1. Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связывается система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором r, проведенным из начала системы координат в данную точку. Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то она обладает тремя степенями свободы (х, у и z); если она движется по плоскости, то - двумя степенями свободы, если движется вдоль некоторой линии, то - одной степенью свободы.

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями , эквивалентными векторному уравнению . Это - кинематические уравнения движения материальной точки. Траектория движения материальной точки — линия, описываемая этой точкой в пространстве относительно выбранной системы отсчета. Вид траектории зависит от характера движения материальной точки и от системы отсчета.

Длина участка траектории, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути s и является скалярной функцией времени: Ds = Ds(t). Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.При прямолинейном движении Поступательное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

СКОРОСТЬ – векторная величина, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени. Вектор средней скорости - отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени: . Направление вектора средней скорости совпадает с направлением Dr. Мгновенная скорость - векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени. Средняя скорость неравномерного движения Единица скорости – 1 метр в секунду – скорость прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой эта точка за 1 с перемещается на расстояние 1 м. Проекции вектора скорости на оси координат ; ; Движение в одной плоскости описывается уравнениями: , где , - проекции вектора скорости на оси координат. Движение точки в пространстве

Ускорение - характеристика неравномерного движения, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Единица ускорения – метр на секунду в квадрате – ускорение прямолинейного ускоренного движения точки, при котором за 1 с скорость точки изменяется на 1м/с. Среднее ускорение - векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории). Она равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю . Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена по нормали к траектории, центру кривизны, поэтому называют центростремительным ускорением) . Полное ускорение - геометрическая сумма тангенциальной и нормальной: . Модуль полного ускорения Вычисление пройденного пути 1. Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t₁ до t₂ 2. Путь, пройденный точкой за время t при равномерном движении 3. Путь, пройденный точкой за время t при равноускоренном движении

2. Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость - векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: . Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dj. Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (рад/с). Линейная скорость точки . Эту же формулу можно записать как векторное произведение: , при этом модуль вектора линейной скорости равен , а направление вектора линейной скорости совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от w к R. Период- время, за которое точка поворачивается на угол 2p: Частота вращения - число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени: Угловое ускорение - векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени Направление вектора углового ускорения: при ускоренном движении вектор углового ускорения сонаправлен вектору угловой скорости, при замедленном - противонаправлен ему. Тангенциальная составляющая или Нормальная составляющая ускорения

Для равнопеременного движения точки по окружности и

3. Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные свойства. Масса обладает свойством аддитивности.

Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. Сила характеризуется: точкой приложения, модулем и направлением. Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н есть сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы: 1 Н = 1 кг•м/с²

Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

Векторная величина , численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом этой материальной точки.

Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе

Принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F = ma разложена на два компонента: тангенциальную силу F_t (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F_n (направлена по нормали к центру кривизны).

Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: , где F₁₂ — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F₂₁ — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

И.Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними: Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной, G=6,67•10^-11Н•м²/кг². Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки.

Вес - сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес). Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело, кроме силы тяжести, действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой m, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е. . Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке, неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис.38). Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Потенциал поля тяготения j — скалярная величина, энергетическая характеристика поля тяготения, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность .

Внешнее трение - трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Внешнее трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения или качения. Внутреннее трение - трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Сила трения скольжения F_тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое , где f — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей. Он равен тангенсу угла a₀, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости. Закон трения скольжения , где p₀ — добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S — площадь контакта между телами; f_ист — истинный коэффициент трения скольжения. Сила трения качения определяется по закону Кулона , где r — радиус катящегося тела; f_k — коэффициент трения качения, измеряемый в метрах.

Лекция 2 Динамика твердого тела. Законы сохранения

План

1. Момент силы и момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения. Момент инерции относительно оси. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося тела.

2. Центр масс механической системы и закон его движения. Закон сохранения импульса как фундаментальный закон природы и связь с однородностью пространства.

3. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения момента импульса.

Тезисы

1. Неинерциальные системы отсчета – системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы. Если же учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета. Силы инерции – силы, обусловленные ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы отсчета. Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета

Произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции) , где а – ускорение тела в инерциальной системе отсчета. Есть три возможных случая проявления сил инерции: силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета В неинерциальных системах отсчета третий закон Ньютона, а также законы сохранения импульса, энергии и момента импульса не выполняются!!!

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого при любых условиях остается постоянным. Момент силы F относительно неподвижной точки О - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25): . Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к F.

Модуль вектора момента силы , где a — угол между г и F; rsina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.

Момент силы относительно неподвижной оси z - скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси Z (рис.26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси. Если ось Z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси . Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то , где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Момент инерции тела относительно оси вращения - физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси Момент инерции – величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы mтела на квадрат расстояния а между осями

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела , где - момент инерции тела относительно оси Z.

Кинетическая энергия тела при его плоском движении складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела

Центр масс (или центр инерции) системы материальных точек - воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Радиус-вектор центра масс , где m_i и r_i — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе. Скорость центра масс . Импульс системы материальных точек , т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Закон движения центра масс , т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему . В случае отсутствия внешних сил (замкнутая система) или

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется. Этот закон – фундаментальный закон природы (он универсален), следствие однородности пространства. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета. Импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Работа силы – количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами. Работа постоянной силы, составляющей угол с направлением прямолинейного движения тела равна произведению проекции силы F_s на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы.

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому вышеуказанной формулой пользоваться нельзя. Элементарная работа силы F на перемещении -скалярная величина , где - угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; F_s — проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_s от пути s вдоль траектории 1—2. Если эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

При a<p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_s совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если a>p/2, то работа силы отрицательна. При a=p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю. Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н•м).

Мощность – скалярная физическая величина, характеризующая скорость совершения работы или . Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы. Связь работы и кинетической энергии: работа силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е. . Тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией . Характерные свойства кинетической энергии: 1) всегда положительна; 2) неодинакова в разных системах отсчета; 3) является функцией состояния системы. Работа силы при перемещении из точки 1 в точку 2

или

Теорема о кинетической энергии: Приращение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на точку на том же перемещении

Потенциальное поле – поле, в котором работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения. Работа консервативных сил по замкнутой траектории Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Характерные особенности потенциальной энергии: Потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю, а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Потенциальная энергия может быть определена по формуле , где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Связь между консервативной силой и потенциальной энергией , где - градиент.

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна , Потенциальная энергия упругодеформированного тела (пружины) Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

3. Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия, т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий

Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии – следствие однородности времени, т. е. физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать. В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется.

Момент импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О - физическая величина, определяемая векторным произведением , где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p - импульс материальной точки (рис.28); L—псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль вектора момента импульса , где — угол между векторами r и p, l — плечо вектора р относительно точки О. Момент импульса относительно неподвижной оси z - скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z. Момент импульса отдельной частицы направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц или : Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси : производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси или производная вектора момента импульса твердого тела равна моменту (сумме моментов) внешних сил В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю, поэтому . Это - закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения момента импульса -фундаментальный закон природы, он связан со свойством симметрии пространства- его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

12 3 4 5 6