ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Зростання та спадання функцій

123

Нагадаємо: функція f (x) називається зростаючою на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (якщо то ); функція спадна на проміжку, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (якщо , то ).

Теорема 1 (необхідна умова зростання (спадання) функції):

1. Якщо диференційовна функція зростає на деякому проміжку, то похідна цієї функції невід’ємна на цьому проміжку.

2. Якщо диференційовна функція спадає на деякому проміжку, то похідна цієї функції недодатна на цьому проміжку.

Теорема 2 (достатня умова зростання (спадання) функції):

Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині деякого проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.

Якщо похідна диференційовної функції від’ємна всередині проміжку, то функція спадає на цьому проміжку.

Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції .

Область визначення функції — уся числова вісь . Знайдемо похідну . Функція диференційовна на проміжку .

Для визначення проміжку зростання функції розв’яжемо нерівність , тобто функція зростає на проміжку .

При визначенні проміжку спадання функції (рис. 4.8) маємо 8 – 2х < 0, тобто .

Екстремуми функцій

Означення. При значенні х₁ аргументу х функція f (х) має максимум f (х₁), якщо в деякому околі точки х₁ виконується нерівність (рис. 1) . Аналогічно: при значенні х₂ аргументу х функція f (х) має мінімум f (х₂), якщо в деякому околі точки х₂ має місце нерівність (див. рис. 4.9) .

Рис. 1

Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції, а ті значення аргументу, при яких досягаються екстремуми функції, називаються точками екстремуму функції (відповідно точками максимуму або мінімуму функції).

Екстремум функції, у загальному випадку, має локальний характер — це найбільше або найменше значення функції порівняно з ближніми її значеннями.

Необхідна умова екстремуму функції. Теорема. У точці екстремуму диференційовної функції похідна її дорівнює нулю:

Геометрична умова означає, що в точці екстремуму диференційовної функції дотична до її графіка паралельна осі Ох (рис. 2).

Рис. 2

Наслідок. Неперервна функція може мати екстремум тільки в тих точках, де похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Рис. 3

Справді, якщо в точці х₀ екстремуму функції існує похідна , то, згідно з даною теоремою, ця похідна дорівнює нулю.

Те, що в точці екстремуму неперервної функції похідна може не існувати, показує приклад функції, графік якої має форму «ламаної» (рис. 3).

Ті значення аргументу х, які для заданої функції перетворюють на нуль її похідну або для якої похідна не існує (наприклад, перетворюється на нескінченність), називаються критичними значеннями аргументу (критичними точками).

Достатні умови екстремуму функції.Із того, що , не випливає, що функція має екстремум при .

Рис. 4

Наприклад, нехай . Тоді і , однак значення не є екстремумом даної функції, оскільки різниця змінює знак при зміні знаку аргументу х (рис. 4).

Отже, не для будь-якого критичного значення аргументу функції має місце екстремум цієї функції. Через це поряд з необхідною умовою існують достатні умови існування екстремуму функції.

123