ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Перетворення невизначеностей виду

12 3

ЛЕКЦІЯ 8. Застосування похідної

ПЛАН

1. Правило Лопіталя

2. Перетворення невизначеностей виду

3. Зростання та спадання функцій

4. Екстремуми функцій

5. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Правило Лопіталя

Розглянемо відношення , де функції і визначені й диференційовні в деякому околі точки а, виключаючи, можливо, саму точку а. Може бути, що при обидві функції і прямують до 0 або до ¥, тобто ці функції одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими величинами при . Тоді говорять, що в точці а функція f (x) має невизначеність виду

У цьому випадку, використовуючи похідні і , можна сформулювати правило для знаходження границі функції f (x) при , тобто визначити спосіб для розкриття невизначеностей виду .

Теорема (правило Лопіталя). Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.

Зауваження. Якщо і при прямують одночасно до 0 або до ¥ і задовольняють ті умови, які були накладені теоремою на функції і , то до відношення / знову застосовуємо правило Лопіталя і виводимо формулу

і т. п.

Приклад. Знайти .

Виконавши граничний перехід, дістанемо невизначеність вигляду . Застосовуємо правило Лопіталя:

Приклад. Знайти .

Виконання граничного переходу приводить до невизначеності виду . Застосовуємо правило Лопіталя:

(виконання граничного переходу знову приводить до невизначеності виду , а тому застосовуємо правило Лопіталя повторно):

Перетворення невизначеностей виду

до виду або .

Правило Лопіталя можна застосувати тільки для розкриття невизначеностей вигляду або . При розкритті інших типів невизначеностей їх перетворюють до одного з цих видів.

Невизначеність виду . Нехай .

Потрібно знайти

Це невизначеність типу .

Якщо вираз записати у вигляді

або ,

то при дістанемо невизначеність відповідно вигляду або .

Приклад. Знайти .

Тут маємо невизначеність вигляду . Зобразимо добуток функції у вигляді частки, а потім, отримавши невизначеність , застосуємо правило Лопіталя:

Невизначеність вигляду . Нехай маємо функцію .

При (а — скінченне або нескінченне) можливі три випадки:

а) маємо невизначеність виду ;

б) дістанемо невизначеність ;

в) маємо невизначеність виду .

Ці невизначеності за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності вигляду . Справді, позначимо дану функцію через у, тобто візьмемо . Прологарифмувавши цю рівність, дістанемо .

Легко перевірити, що при добуток буде невизначеністю для всіх трьох випадків.

Відповідно до пункту 1 розкриємо невизначеність , тобто знайдемо границю (k — скінченне або ¥).

Звідси .

Приклад. Знайти границю .

Це невизначеність виду . Позначимо функцію, що стоїть під знаком границі, через у, тобто , і прологарифмуємо її:

Обчислимо границю логарифма даної функції. Тут маємо невизначеність . Застосуємо правило Лопіталя:

Звідси .

Приклад. Знайти границю .

При маємо невизначеність .

Звідси .

Невизначеність . Якщо функції при (а — скінченне або нескінченне), то різниця при дає невизначеність . Остання з допомогою алгебраїчних перетворень зводиться до невизначеності або .

Приклад. Знайти границю .

Маємо невизначеність виду . Алгебраїчним перетворенням приведемо цю невизначеність до невизначеності , а потім двічі застосуємо правило Лопіталя:

12 3