ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Задачи для самостоятельного решения

1 23

1. Пусть е₁, е₂ – ортонормированный базис плоскости и линейное преобразование j в базисе f₁ = e₁, f₂ = e₁+e₂ имеет матрицу .

Найти матрицу сопряженного преобразования в том же базисе f₁, f₂.

2. Найти матрицу линейного преобразования j*, сопряженного преобразованию j в ортонормированном базисе е₁, е₂, е₃, если j переводит векторы а₁ = (0,0,1), а₂ = (0,1,1), а₃ = (1,1,1) в векторы b₁ = (1,2,1), b₂ = (3,1,2), b₃ = (7,-1,4) соответственно, где координаты всех векторов даны в базисе е₁, е₂, е₃.

3. Пусть хОу – прямоугольная система координат на плоскости и j - проектирование плоскости на ось Ох параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженное преобразование j*.

4. Пусть = - разложение евклидова пространства в прямую сумму двух подпространств; j - проектирование Rⁿ на L₁ параллельно L₂ ; L₁* и L₂* - ортогональные дополнения соответственно для L₁ и L₂ ; j* - преобразование, сопряженное с j. Доказать, что Rⁿ = и что j* является проектированием Rⁿ на L₂* параллельно L₁*.

5. Написать уравнение плоскости, инвариантной относительно линейного преобразования j, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

6. Пусть Г – матрица Грама некоторого базиса и А – матрица линейного преобразования j. Найти матрицу А₁ сопряженного преобразования j* в том же базисе:

7.Доказать, что если линейное преобразование j в n-мерном пространстве имеет n различных собственных значений, то любое линейное преобразование, перестановочное с j, имеет базис, состоящий из его собственных векторов.

8. Доказать, что подпространство V, состоящее из всех собственных векторов преобразования j с собственными значениями l и нулевого вектора, инвариантно относительно любого линейного преобразования y, перестановочного с j.

9. Доказать, что если х – собственный вектор нормального преобразования j евклидова пространства, принадлежащий собственному значению l, то х является собственным вектором для сопряженного преобразования j*, принадлежащим тому же самому числу l.

10. Доказать, что собственные векторы нормального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

11. Пусть j нормальное преобразование в евклидовом пространстве Е, причем j² = - e. Доказать, что j* = - j. (e - тождественное преобразование).

12. Пусть р(t) = t² + at + b – вещественный неприводимый многочлен. Предположим, что j - нормальное преобразование в евклидовом пространстве, причем р(j) = 0. Доказать, что j* = - j - аe.

13. Пусть j -- нормальное линейное преобразование в двумерном евклидовом пространстве Е, причем j не имеет собственных векторов в этом пространстве. Пусть е = (е₁, е₂) – ортонормированный базис. Доказать, что матрица преобразования j в базисе е имеет вид:

14. Доказать, что если подпространство L унитарного пространства инвариантно относительно линейного преобразования j, то ортогональное дополнение L* инвариантно относительно сопряженного преобразования j*.

15. Доказать, что линейное преобразование j унитарного пространства Rⁿ имеет инвариантное подпространство любого числа измерений от 0 до n.

16. Пусть е₁, е₂ – ортонормированный базис в унитарном пространстве Е², f₁ = e₁ + e₂, f₂ = e₁ - ie₂. Линейное преобразование j, действующее в этом пространстве, имеет в базисе f₁, f₂ матрицу

А =

Найти матрицу сопряженного преобразования j* в базисе f₁, f₂.

17. Пусть е₁ ,е₂, е₃ – ортонормированный базис в унитарном пространстве Е³, f₁ = e₁, f₂ = ie₁ + e₂, f₃ = - ie₁ + e₂ + e₃. Линейное преобразование j, действующее в этом пространстве, имеет в базисе f₁, f₂, f₃ матрицу

Найти матрицу сопряженного преобразования в базисе f₁, f₂, f₃.

18. Доказать, что коэффициенты характеристического многочлена преобразования j, действующего в унитарном пространстве, являются комплексно сопряженными по отношению к соответствующим коэффициентам характеристического многочлена сопряженного преобразования j*.

19. Проверить, что самосопряженные, унитарные и эрмитовы преобразования унитарных пространств нормальны.

20. Доказать, что нормальное преобразование унитарного пространства тогда и только тогда является самосопряженным, когда все его собственные значения вещественны.

21. Доказать, что если х – собственный вектор нормального преобразования j унитарного пространства, принадлежащий собственному значению l, то х является собственным вектором для сопряженного преобразования j*, принадлежащим сопряженному числу .

22. Доказать, что собственные векторы нормального преобразования, принадлежащие двум различным собственным значениям, ортогональны.

23. Пусть е – собственный вектор нормального преобразования j. Доказать, что подпространство L, состоящее из всех векторов пространства, ортогональных е, инвариантно относительно j.

24. Доказать, что для нормальности линейного преобразования j унитарного пространства необходимо и достаточно, чтобы каждый собственный вектор j был собственным и для j*.

25. Доказать, что если нормальное преобразование j в унитарном пространстве перестановочно с преобразованием y, то j перестановочно с y*.

26. Пусть j и y нормальные преобразования в унитарном пространстве, причем характеристические многочлены этих преобразований равны. Доказать, что матрицы преобразований j и y в любом базисе подобны.

27. Пусть j нормальное нильпотентное преобразование в унитарном пространстве. Доказать, что тогда j = 0.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

1 23