ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

123

Задача 1.

Можно ли в линейном пространстве М₃(R) - матриц с вещественными элементами ввести скалярное умножение матриц по формуле (А, В) = a₁₁b₁₁ + a₂₂b₂₂ + a₃₃b₃₃ ?

Задача 2.

В базисе е₁, е₂ линейного пространства R₂ произвольные векторы х и у имеют разложение х = х₁е₁ + х₂е₂, у = у₁е₁ + у₂е₂.

А) Можно ли в этом пространстве ввести скалярное умножение векторов по формуле:

1) (х, у) = х₁у₁ - 2х₂у₂;

2) (х, у) = 2х₁у₁ + 3х₂у₂;

3) (х, у) = х₁у₁ - х₁у₂ - х₂у₂ + 3х₂у₂ ?

Б) Вычислите скалярное произведение элементов х = е₁ + е₂ и у = -е₁, их нормы (норма вводится по формуле ) и угол между ними, если скалярное умножение введено по формуле 2), по формуле 3) пункта А).

Задача 3.

Скалярное умножение векторов в пространстве Р₁ многочленов степени, не превосходящей 1, введено по формуле 2) (по формуле 3)) из задачи 2 в базисе е₁ = 1, е₂ = 1 + х. Вычислить скалярное произведение многочленов f(x) = 1 + x и g(x) = -3x, их нормы и угол между ними.

Задача 4.

В линейном пространстве Р₅ многочленов степени, не превосходящей 5, вычислить скалярное произведение многочленов f(x) = 2 - 3x + 4x³ - x⁴ и g(x) = 1 - x + x² + x³ - 2x⁵, в базисе е₁ = 1, е₂ = х,…, е₆ = х⁵, если скалярное произведение определено по формуле где - координаты векторов х, у в заданном базисе.

Задача 5.

Пусть у - фиксированный ненулевой элемент евклидова пространства, a - фиксированное число. Является ли множество всех элементов х, для которых (х, у) = a, подпространством данного евклидова пространства?

Задача 6.

Выясните, является ли линейное пространства М₂(R) всех квадратных матриц второго порядка евклидовым, если скалярное произведение векторов введено следующим образом: a) (A, B) = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ + d₁d₂; b) (A, B) = a₁a₂ + b₁c₂ + + c₁b₂ + d₁d₂, где

Задача 7.

Проверьте, что в R³ векторы а₁ = (1, -2, 2), а₂ = (-2, -2, -1), а₃ = (2, -1, -2) образуют ортогональный базис, и для вектора х = (1, 2, 3) найдите разложение по этому базису.

Задача 8.

Пусть Х = (х₁, х₂) и У = (у₁, у₂) Произвольные векторы линейного пространства Х₂, заданные координатами в фиксированном базисе е₁, е₂. Убедитесь в том, что скалярное произведение векторов в этом пространстве можно задать одним из следующих способов:

Вычислить скалярное произведение векторов Х = (1, 1) и У = (2, -1).

Задача 9.

Пусть в линейном пространстве Х₂ с базисом е₁, е₂ скалярное произведение задано формулой:

Убедитесь в том, что и выпишите матрицу Грама базиса

Задача 10.

Дано линейное пространство Х₃ с базисом и матрица Грама этого базиса:

Выписать формулу скалярного умножения векторов в пространстве Х₃ и, пользуясь ей, вычислить скалярное произведение (Х, У), если

Задача 11.

Найти собственные значения и корневые подпространства линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Ответы.

1. Нет.

2. 2. А) 1) Нет. 2) Да. 3) Да.

Б) В случае 2): (Х,У) = -2,

В случае 3) (Х, У) = 0,

3. В случае 2)

В случае 3)

4. 9.

5. Да, если a = 0, нет, если a ¹ 0.

11. для

для

Задание № 27-2.

1. Найти угол между вектором х и линейной оболочкой, натянутой на векторы <a₁, a₂, …, a_k>:

a) x = (2, 2, 1, 1), b) x = (1, 0, 3, 0),

a₁ = (3, 4, -4, -1), a₁ = (5, 3, 4, -3),

a₂ = (0, 1, -1, 2); a₂ = (1, 1, 4, 5),

a₃ = 2, -1, 1, 2).

2.Определителем Грама векторов а₁, а₂,..., а_n евклидова пространства

называется определитель .

Доказать, что определитель Грама не изменяется в процессе ортогонализации, т.е. если векторы а₁, а₂,...,а_n перейдут в векторы b₁, b₂ ,...,b_n,

то g(а₁, а₂,...,а_n) = g(b₁, b₂ ,...,b_n) = |b₁|²|b₂ |²...|b_n|².

3.Дополнить систему, состоящую из одного вектора, до ортогонального базиса: а₁ = (1, 2, 3).

4.Разложить вектор х на сумму двух векторов, один из которых лежит в оболочке < a_i >, a другой ортогонален к этой оболочке (ортогональная проекция и ортогональная составляющие вектора х ).

5.Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:

a) a₁ = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), a₂ = (1/2, 1/2, -1/2, -1/2);

b) a₁ = (2/3, 1/3, 2/3), a₂ = (1/3, 2/3, -2/3).

6.Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора х на линейную оболочку < а_i > :

x = (4, -1, -3, 4), a₁ = (1, 1, 1, 1), a₂ = (1, 2, 2, -1), a₃ = (1, 0, 0, 3).

7. Доказать, что функции образуют ортогональный базис оболочки этих функций, если скалярное произведение элементов f(x), g(x) линейной оболочки определено формулой

8. Найти базис и ортогональное дополнение L^{^} оболочки L, натянутой на векторы:

<a₁ = (1, 0, 2, 1), a₂ = (2, 1, 2, 3), a₃ = (0, 1, -2, 1)>.

9. Линейное подпространство L задано уравнениями:

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение L^{^}.

10. Доказать, что определитель Грама g(а₁, а₂,…, а_k) равен нулю, если векторы а₁, а₂,…, а_k линейно зависимы, и положителен, если они линейно независимы.

Ответы.

1а. 60⁰, б.30⁰.

2.На k-том шаге в процессе ортогонализации при замене вектора а _k₊₁ на b_k₊₁ в матрице Грамма к (k+1)-ой строке прибавляется линейная комбинация первых k строк, а к (k+1)-му столбцу прибавляется линейная комбинация первых k столбцов, что не меняет определителя Грамма.

3. Любое ненулевое решение уравнения x + 2x + 3x = 0 (2, -1, 0). Ненулевое решение системы x + 2x + 3x = 0, 2x - x = 0 (3, 6, -5) c векторами (2, -1, 0) и (1, 2, 3) составляют ортогональный базис.

4. x₁ = (3, 1, -1, -2) ÎР, 5б. ±(2/3, -2/3, -1/3).

x₂ = (2, 1, -1, 4) Î P^{^}. 6. y = 3a₁ - 2a₂ = (1, -1, -1, 5),

5а. (1/2,-1/2,-1/2,-1/2). Z = (3, 0, -2, -1).

7. Доказательство.

8. Например, b₁ = (2, -2, -1, 0), b₂ = (1, 1, 0, -1).

9. Например, 6х₁ - 9х₂ - х₃ = 0, х₂ + х₄ = 0.

10. Указание: показать, что определитель Грама g(а₁, а₂,…, а_k) равен квадрату модуля определителя из координат векторов а₁, а₂,…, а_k в любом ортонормированном базисе k-мерного пространства, содержащего эти векторы.

123