ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Основные свойства двойного интеграла.

12 3

Двойные и тройные интегралы

Двойной интеграл

Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла в случае функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция . Разобьем область D на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через (см.рис.1).

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы , когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается (или )

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D – область интегрирования; x и y – переменные интегрирования.

Теорема(достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция z=f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – замкнутой областью D плоскости Оху, боковое ограничение- цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см.рис.2.1).

Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=f(x;y) на плоскость Оху) произвольным образом на n областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности z=f(x;y). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием через , получим.

Возьмем на каждой площадке произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра приблизительно равен объему цилиндрического столбика, т.е. . Тогда получаем:

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» . Естественно принять предел суммы при условии, что число площадок неограниченно увеличивается , а каждая площадка стягивается в точку ( ), за объем V цилиндрического тела, т.е. , или, согласно равенству .

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела.

Основные свойства двойного интеграла.

1. , c-const.

3. Если область D разбить линией на 2 области и такие, что , а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то

4. Если в области D имеет место неравенство , то и . Если в области D функции и удовлетворяют неравенству , то и

5. , так как

6. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что .

Величину называют средним значением функции в области D

12 3