ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Уравнения, приводимые к линейным.

1 23

Несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения, составляет следующий шаг в изучении уравнений с параметром.

Пример1. Решите уравнение

Решение. Очевидно, что х ≠ 2. Умножив обе части уравнения на х–2≠0, получим а = х – 2 или х = а + 2. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при котором найденное значение х было бы равно числу 2, то есть решим уравнение 2 = а + 2 относительно а. Получим, что при а = 0 х =2, но число 2 не входит в область определения, следовательно, не может быть его корнем.

Ответ: при а = 0 корней нет; при а≠ 0 х = а +2.

Пример2. Решите уравнение

Решение: х ≠ –1. Приведя уравнение к виду (1 — а)х = а, заметим, что при а = 1 уравнение не имеет корней, а при а ≠1 получаем . Решим уравнение относительно а. Так как уравнение не имеет корней, других вариантов не имеется.

Ответ: при а ≠1 ; при а = 1 корней нет.

Пример 3. Решите уравнение

Решение При условии, что исходное уравнение можно упростить:

После преобразований получаем уравнение 2ах =1– а, которое при а = 0 не имеет корней, а при а ≠ 0 . Проверим, нет ли таких значении параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3 или 2. для этого решим относительно а уравнения . Корень первого уравнения

– 0,2, корень второго уравнения 0,2, то есть при а ± 0, 2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ: при корней нет; при .

Пример 4. Исследовать и решить уравнение с параметром.

D(у): х≠ -1.

kx + 2k – 3k + 3 = x + 1;

(k – 1 )x = x + 1 - вид уравнения наиболее удобный для исследования.

a) Пусть k ≠ 1, тогда существует единственный х .

б) Выясним, при каких значениях параметра k х = -1, и исключим их.

Для этого решим уравнение:

, тогда k = 1,5.

в) Если k = 1, то 0х = -1, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру k

1 1,5

1) 2) 3)

Ответ: 1) При k ≠ 1

k ≠1,5 существует ед. х = .

2) При k =1 решений нет.

3) При k = 1,5 решений нет.

Пример 5. Исследовать и решить уравнение с параметром.

D (у): m ≠ 1

x≠-3.

Преобразуем данное уравнение в равносильное с учётом D (у):

3mx – 5 + (3m – 11)(x + 3) = (2x + 7)(m – 1);

(4m – 9)x = 31 – 2m - линейное уравнение с параметром, удобное для исследования.

а) Если m ≠ 2,25

m ≠ 1 , то существует ед.

б) Выясним, при каких значениях параметра m x = -3.

следовательно, m = - 0,4, т.е. при m = - 0,4 х .

в) Если m = 2,25, то 0х = 26,5, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру

-0,4 1 2,25

1) 3) 4) 2)

Ответ: 1) при m ≠ 2,25

m ≠ - 0,4 существует ед.

m ≠ 1

2) При m = 2,25 решений нет

3) При m = - 0,4 решений нет

4) При m = 1 уравнение не определено или не имеет смысла.

Пример 6. Исследовать и решить уравнение с параметром.

D(y): Выполнив необходимые преобразования получим следующее уравнение:

а) Если то

б) тогда т.е.

в) тогда т.е.

г) тогда 0= - 6,5, следовательно, решений нет

Графическая иллюстрация исследования c параметром m

- 2 -1,5

5) 1) 4) 3) 2)

Ответ: 1) При существует единственное решение

2) При решений нет

3) При решений нет

4) При уравнение не определено.

5) При решений нет.

Пример 7. Исследовать и решить уравнение с параметром:

D(y) :

Данное уравнение перепишем в виде

или

а) Если то существует ед.

б) Выясним, при каких значениях параметра m x=1, и исключим эти значения, т.е. или 2 = 1. Следовательно, не существует такого значения параметра m, при котором x=1, т.е. дополнительных ограничений на значение параметра m нет.

в) Если m=1, то, следовательно, любое есть решение уравнения, т.е. это случай бесконечного множества решений.

г) Если m = -1, то , т.е. решений нет.

д) Если m = 0 - уравнение не определено.

Ответ: а) а) Если то существует ед. x

б) Если m=1, то для любого x ≠ 1 есть решение.

в) Если m = -1, решений нет

г) Если m = 0 - уравнение не определено.

Пример 8. Исследовать и решить уравнение с параметром:

Найдём область определения данного уравнения. D(y) : х ≠±1.

Запишем уравнение в виде. или

а) Если а ≠ -2 , то существует ед. х

б) Выясним, при каких значениях параметра а х=1, и исключим их.

, т.е. а = 1.

в) выясним, при каких значениях параметра а х=-1,

, т.е. 4=-2, или решений нет. Следовательно, не существует такого значения параметра а, при котором х=-1.

г) Если а = -2, то , т.е. решений нет.

Графическая иллюстрация исследования c параметром а

-2 1

1) 2) 3)

Ответ 1) При существует ед. х

2) При а = -2, решений нет.

3) При а = 1, решений нет.

Пример 9. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y): .

Запишем уравнение в виде , или

а) Если то существует ед. х

б) Выясним, при каких значениях параметра m x=-3.

т.е. m ≠-1.

в) Если m = -4, то , следовательно, любое х из области определения уравнения есть решение.

г) Если m = 2, то , т.е решений нет.

д) Если m = -1 – уравнение не определено.

Ответ: 1) При то существует ед. х

2) При m = - 4, любое х ≠-3 есть решение.

3) При m = 2, решений нет.

4) При m = -1 – уравнение не определено

Пример 10. Исследовать и решить уравнение с параметром

D (y): .

Запишем уравнение в виде

а) Если то существует ед. х .

б) Если а=0, то 0=0, следовательно, любое х из области определения есть решение.

Ответ: 1) При то существует ед. х .

2) При а=0, любое х ≠ 1 – есть решение.

3) При а = 1,5 уравнение не определено.

Пример 11. Исследовать уравнение, выяснить, при каких значениях параметра m существует единственное решение, меньше 1.

D(y):

Запишем уравнение в виде

I. а) Если то существует ед. х

б) Выясним, при каком значении параметра m х=-2.

т.е.

в) Выясним, при каком значении параметра m х=-3

т.е. .

II. Решим неравенство . Перенесём 1 в левую часть, тогда

Графическая иллюстрация:

0 1

Ответ: при существует единственное решение такое, что .

Пример 12. Исследовать уравнение, выяснить при каких значениях параметра m существует единственное положительное решение.

D(y) .

Запишем уравнение в виде .

I. а) Если то существует ед. х

б) Выясним, при каком значении параметра m

тогда

в) При найдём дополнительное ограничение на значение параметра m.

Тогда уравнение имеет вид

т.е.

II.

Графическая иллюстрация:

-2 -1 -½

Ответ: при существует ед. х

Пример 13. Исследовать и решить уравнение с параметром

D (y):

В результате преобразований получаем - данное уравнение наиболее удобно для исследования.

а) Если то существует ед. х

б) Выясним при каком значении параметра b

в) Выясним при каком значении параметра b

г) Если , то решений нет.

Ответ: 1)При существует ед. х

2) При решений нет. 3) При решений нет.

4) При решений нет.

Пример 14. Исследовать и решить уравнение с параметром

D(y):

Преобразуем уравнение в более удобное для исследования.

а) Если то существует ед х

б) Выясним, при каком значении параметра n х=0.

в) Если , то любое значении х из области определения является решением.

г) Если , уравнение не определено.

д) Если , уравнение не определено.

Ответ: 1) При то существует ед. х

2) При любое является решением.

3) При , уравнение не определено.

4) При , уравнение не определено.

Заключение.

Для реализации проекта мною были проанализированы методическая литература и учебные пособия, которые позволили выявить основные методы решения линейных уравнений с параметрами и адаптировать их к школьному курсу. Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 7 – 11 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.

Список литературы:

1. Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – 368 с.

2. Шахместер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – 1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.– 304с.

3. Шахместер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. –

1-е изд.– СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.– 304с.

4. Шахместер А.Х. Задачи с параметрами на экзаменах. – 3-е изд., исправленное.– М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс»,2009. – 248с.

5. Н.Воронина Уравнения с параметрами на уроках повторения. – Газета «Математика» №1/ 2010г. Издательский дом «Первое сентября».

6. Т.Овчинникова, Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами» – Газета «Математика» №1/ 2010г. №2/2010, №3/2010 Издательский дом «Первое сентября».

7. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999 – 336с.

8. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

9. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

10. Алгебра. 10-11 класс. В 2 ч. /[А.Г.Мордкович и др.] под ред. А.Г. Мордковича. – 11-е изд. Стер. М.: Мнемозина, 2009.

11. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 9-е изд.- М.: Айрис-пресс, 2004 – 432с.

12. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208с (Серия «Математика: элективный курс»).

1 23