ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Частные случаи решения линейных уравнений

123

Ученики должны понять, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях – это частные решения уравнений. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра … уравнение …. Имеет единственное решение или не имеет корней, или имеет корень равный… и т.д.

Пример1. При каких целых значениях параметра а уравнение имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду , если то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения было делителем числа 5, то есть может быть равно 1; -1; 5; -5. Отсюда, а = 3; 1; 7;-3.

Ответ: при а = -3; 1; 3; 7 .

Пример 2. При каких значениях параметра n уравнение

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение: 1. Выражения имеют смысл при любых значениях n/

2. Если , то . При значение выражения равно 0. Получаем уравнение вида . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число. При значение выражения равно – 12, получается уравнение , которое не имеет корней.

3. При и уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) При и .

б) При . в) При .

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение не имеет корней .

Перепишем данное уравнение в виде Если а = 2, то уравнение не имеет корней. Ответ: а = 2

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения.

Решение: Способ I: Если для некоторого значения параметра число 7 является корнем уравнения, то для этого значения а справедливо равенство , или равенство .

Равенство справедливо при а = 0 или при а =1.

Внимание! Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения

при а = 0 или при а =1.

Если а = 0, то уравнение перепишем в виде х – 7 = 0.

При а = 0 число7 является единственным корнем уравнения.

Если же а =1, то уравнение перепишем в виде х - 7 = х – 7.

При а=1 любое действительное число является корнем данного уравнения. Следовательно, число 7 не является единственным корнем уравнения .

Способ II. Перепишем исходное уравнение в виде

При а =1 корнем уравнения является любое число, то есть число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении а ≠1.

Но тогда это уравнение имеет единственный корень . Условие задачи будет выполнено, если это единственный корень есть число 7: то есть при а = 0.

Ответ: а = 0.

Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения и имеют общий корень.

Решение: Перепишем первое уравнение в виде . Это уравнение имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем второе уравнение в виде . Данное уравнение имеет корень лишь при ,. Этот корень есть число

Осталось найти все значения параметра . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х₁ и х₂ есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение которое имеет единственный корень . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при

4. Аналитический и графический способы решения линейных уравнений

Пример 1.Решите уравнение .

Решение: Способ 1. (аналитический).

1. При а>0 уравнение имеет два корня: .

2. При а=0 уравнение имеет один корень: х=0

3. При а<0 уравнение корней не имеет.

Способ II.(графический)

1. При а>0 графики пересекаются в двух точках ( – а; а) и ( а; а), значит уравнение имеет два решение: .

2. При а=0 точка пересечения графиков одна – начало координат, следовательно, уравнение имеет одно решение: х=0.

3. При а<0 графики функции не пересекаются – решений нет.

Ответ: при а<0 корней нет;

при а=0 один корень: х=0;

при а>0 два корня: .

Пример 2.Решите уравнение .

Решение. Способ I (аналитический).

1. При уравнение равносильно уравнению ах = х, или х(а — 1) = 0. Следовательно:

а) при а ≠ 1 уравнение имеет только одно решение: х = 0;

б) при а = 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

2. При х ≤ 0 уравнение равносильно уравнению ах = — х, или х(а + 1) = 0. Следовательно: а) при а ≠ —1 уравнение имеет одно решение: х = 0;

б) при а = —1 - множество решений,

Способ II (графический).

Построим графики функций и . Графиками функций у = ах являются прямые, проходящие через начало координат, угловой коэффициент которых равен а.

у А

1. При уравнение имеет одно решение х = 0.

2. При а = 1 прямая у = х содержит луч ОА, и уравнение имеет бесконечное множество решений .

З. При а = —1 прямая у = х содержит луч ОВ, и уравнение имеет бесконечное множество решений

Ответ: при а = —1 ; при а = 1 ; при х = 0.

Пример 3. Решите уравнение | х + 2| = ах + 1.

Решение аналитическим способом приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Графический способ более удобен, он короче и красивее.

Решение. Построим график функций у =| х + 2| и у = ах + 1. График первой функции получается сдвигом графика функции у =| х| на 2 единицы влево по оси абсцисс. Графиком второй функции является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 1), угловой коэффициент которой равен а. Рассматривая график функции у = ах + 1 при различных числовых значениях параметра а, получаем пучок прямых, проходящих через точку (0; 1).

Если угловой коэффициент , то есть прямые проходят в области 1, то они пересекает правую ветвь (х > –2) графика функции , и уравнение имеет одно решение.

Если , то прямые проходят в области 2, и графики функций пересекаются в двух точках, то есть уравнение имеет два решения.

При прямые расположены в области 3, в этом случае графики функций не пересекаются, следовательно, уравнение решений не имеет.

При точка пересечения одна, и решение тоже одно.

Таким образом, получаем ответ.

Ответ: При уравнение имеет одно решение;

При уравнение имеет два решения; при уравнение решений не имеет.

123