ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Критерий Стьюдента (t-критерий)

1 23

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

А) случай независимых выборок

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

(1)

где , — средние арифметические в экспериментальной и контрольной группах,

- стандартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

, (2)

где n₁ и n₂ соответственно величины первой и второй выборки.

Если n₁=n₂, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

(3)

где n величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

k = n₁ + n₂ – 2. (4)

При численном равенстве выборок k = 2n - 2.

Далее необходимо сравнить полученное значение t_эмп с теоретическим значением t—распределения Стьюдента (см. приложение к учебникам статистики). Если t_эмп<t_крит, то гипотеза H₀ принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Б) случай связанных (парных) выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

(5)

где — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной У, а d - среднее этих разностей;

Sd вычисляется по следующей формуле:

(6)

Число степеней свободы k определяется по формуле k=n-1. Рассмотрим пример использования t-критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Если t_эмп<t_крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления F_эмп нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фишера такова:

(8)

где - дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение F_эмп всегда будет больше или равно единице.

Число степеней свободы определяется также просто:

k₁=n_l - 1 для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k₂=n₂ - 1 для второй выборки.

В Приложении 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k₁ (верхняя строчка таблицы) и k₂ (левый столбец таблицы).

Если t_эмп>t_крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

33.Дисперсионный анализ.

В дисперсионном анализе устанавливается факт зависимости или не зависимости исследуемой случайной величины от одного или нескольких факторов.

Анализ проводится по каждому фактору отдельно или по нескольким факторам одновременно, т.е. мы можем выделить:

-однофакторный

-двухфакторный

-трехфакторный

Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть проверяется гипотеза о том, что фактор А не влияет на случайную величину Х, предполагаем, что А имеет к-уровней. На каждом уровне проводим n-измерений, получаем совокупность измерений i=1…k, j=1…n. Обозначим - мат. ожидание на i-ом уровне фактора А. Общее мат. ожидание на всех уровнях фактора А обозначим через m. На основе экспериментальных данных требуется проверить гипотезу о равенствах мат. ожиданиях

Для проверки вычисляются оценки мат. ожиданий на всех уровнях и оценка общего мат. ожидания m: .

Зависимость исследуемой величины можно обнаружить при сравнении оценок с , но сравнение делается не напрямую, а с помощью эмпирических дисперсий, поэтому и называется дисперсионный анализ.

Опуская коэффициент , рассмотрим сумму квадратов отклонений измеряемой СВ от ее мат. ожидания. kn =kn* =Q=

Идея дисперсионного анализа состоит в том, что эта сумма разбиваются на 2 компоненты, одна из них обусловлена фактором влияния А, а другая другими неучтенными факторами. Проведем это разбиение.

Q= = = =

т.к. не зависимые измерения, то второе слагаемое равно 0.

Обозначим первое слaгаемое , а второе компонента отклонение значение Х от средних значений ,т.е. она характеризует влияние фактора А на величину Х, поэтому .

указывает на отклонение случайной величины внутри уровней, т.е учитывает влияние других факторов, ее называют остаток рассеиня. Сравнивая и мы можем оценить степень влияния фактора А в сравнении с другими факторами.

Для сравнения необходимо использовать признаки (критерии). По условию величина Х имеет нормальное распределение и будет иметь распределение с (nk-1) степенью свободы, аналогично величина распределена нормально с дисперсией . Предположим, что гипотеза верна, тогда величина будет распределена по закону с (к-1) степенью свободы

т.к. Q= + , то по свойству распределений также распределена по закону с чслом степеней свободы.

k(n-1), тогда по критерию Фишера

, где F-распределение Фишера со степенями свободы

=к-1

=к(n-1) Затем для проверки задается уровень значимости α или вероятность ошибки 1 рода и по таблице распределения Фишера решается уравнение

Из этого же уравнения находится критическое значение , которое является нижней границей в области F , решение по гипотезе принимают по следующему правилу: Если F вычисленное по формуле (1) >Fтабл., то гипотеза отвергается. Если F < Fтабл ,то гипотеза принимается, т.е. если фактор А не оказывает существенного влияния на х, т.е. гипотеза истина, то величина .

Если отношение F оказывается большим, то влияние фактора А следует признать существенным.

Замечание: для вычислений Q удобно пользоваться формулами:

34.Дисперсионный анализ.

-однофакторный

-двухфакторный

-трехфакторный

Двухфакторный дисперсионный анализ.

Проводится аналогично однофакторному. По каждому фактору вычисляется свое отношение F, находится критическое , отличие в том, что появляется необходимость проверки зависимости факторов между собой.

Пусть проверяется влияние на величину х факторов А и В. Предположим, что фактор А имеет к-уровней, фактор В n-уровней. Измерение величины х на i-ом уровне фактора А и j-ом уровне фактора В обозначим .

Мат. ожидания:

Пусть эмпирическим мат. ожиданиям соответствуют истинные ожидания величин , , m, тогда основная гипотеза состоит в том, что все мат ожидания равны:

= = m

Для проверки гипотезы суммируют квадраты отклонения общего мат. ожидания и эмпирических измерений.

Сумма разбивается на 3 компоненты Q= .

Общая сумма:

характеризует влияние фактора А на величину Х и называется рассеиванием по фактору А

описывает влияние фактора В на величину Х и называется рассеиванием по фактору В

указывает на рассеивание СВ внутри комбинации факторов и называется остаточное рассеивание.

Т.к. по условия величина Х имеет нормальное распределение с дисперсией , то величина будет иметь распределение (nk-1)-степенью свободы.

Все мат. ожидания также будут распределены по нормальному закону:

Предположим, что гипотеза -верна, тогда величина будет распределена по закону с (к-1) степенями свободы, величина распределена по закону с (n-1)-степенью свободы, тогда распределена по закону с nk-1-(k-1)-(n-1) = (к-1) (n-1) степенями свобод.

Тогда отношение F определяются по формулам:

Задаем уровень значимости α и по таблице распределения Фишера находим критические значения со степенью свобод (к-1) и (к-1)(n-1) и со степенями свободы (n-1) и (к-1)(n-1).

Если , то гипотеза принимается, что оба фактора не оказывают существенного влияния на х.

Для вычисления Q удобней воспользоваться формулами:

35.С ростом числа факторов увеличивается число измерений и соответственно число вычислительных операций. Для упрощения проверки используют альтернативные схемы проведения эксперимента. Например в трех факторном анализе популярен латинский квадрат. Пусть СВ Х зависит от трех факторов А, В, С. Каждый фактор имеет n уровней, тогда количество измерений при полном исследовании будет . Идея латинского квадрата в том, что выбираем измерения, в котором каждая пара уравнений встречается только 1 раз.

Измеряемые значения х индексируют по факторам А и В.

и вычисляют отдельно для каждого уровня фактора С.

Эмпирическое мат. ожидание вычисляют по формулам:

- t – уровней фактора С

Далее процедура анализа как и ранее. Выделяем Q= +

– рассеивание по А ; - по В ; - по С ; – остаточн.

= = =

Число степеней свободы одинаково для всех (n-1) и (n-1)(n-2). Решение о гипотезе принимается аналагично по сравнению с критическими значениями .

Рассмотрим общую схему трехфакторного анализа:

Предположим, что на СВ х влияют 3 фактора: А,В,С. Требуется определить степень влияния факторов на х, т.е. существенно или нет это влияние. Для этого факторы квантуются (разбиваются на уровни) Делаются измерения величины Х при разных значениях факторов. Схема выбора комбинаций уровней факторов называют планом эксперимента. Предположим, что каждый фактор имеет S- уровней, тогда число различных комбинаций - .

Получаем большой объем статистических измерений.

Для уменьшения числа измерений используют др. планы, например латинский квадрат.В этом случае выбирают только те измерения, когда комбинации не повторяются дважды и число измерений становится равной .

Обозначим измерение , в дисперсионном анализе предполагается, что все измерения независимы и распределены по нормальному закону с одной и той же дисперсией .

= + , где - мат ожидание СВ х ; - распределено по норм закону с мат ожид равным 0 и дисперсией

Проверим гипотезу Н0 о том , что все мат ожид одинаковы, т.е. = m дл всех i,j,k

Эта гипотеза эквивалентна предположению, что ни один из факторов не влияет на величину Х.

Альтернативная гипотеза Н1 предполагает, что хотя бы 1 из факторов влияет на величину х, т.е. принимая Н0 мы отвергаем влияние всех факторов , принимая Н1, мы предполагаем , что хотя бы 1 фактор влияет на х, а для выявления степени влияния проводим дополнительные исследования.

36.Регрессионный анализ принимается аппроксимацией статистических данных некоторой функции, т.е. заменой статистических связей функциональной зависимостью. Решаются 2 задачи: выявление переменных фактов , влияющих на исследуемую СВ и оценка точности аппроксимации.

Задача РА ставится так: пусть на СВ Z влияют факторы Х, У,…., Т

Возможно влияние и других факторов , но если они не являются контролируемыми , то их можно не учитывать. Предположим, что для всех возможных величин указанных факторов выполняется соотношение: z = 𝜑( x,y,..t)+ℰ , где 𝜑( x,y,..t) – неизвестная функция ; ℰ - компонента учитывающая влияние некоторых факторов.

Считаем, что ℰ не зависит от Х, У,…., Т Предположим, что ℰ имеет норм. распределение. и ее мат ожидание равно 0, а дисперсия

Основная цель РА –определение вида функции 𝜑. 𝜑 называют аппроксимирующей или прогнозирующей функцией.

Задача анализа разбивается на 2 этапа:

1. Определение структуры аппроксимирующей функции с точностью до неизвестных параметров. В частности вид функции одной переменной можно определить графически.

2. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции из условий минимизации средней квадратической ошибки отклонений.

Пусть проведено n измерений факторов

Z	X	Y	……..	T
Z1	X1	Y1	……..	T1
Z2	X2	Y2	……..	T2
Z3	X3	Y3	……..	T3

тогда для любой строки i мы можем составить соотношение: =𝜑 ( , , …., , a, b,…., h) + , где ( , , …., ) – статистические данные; (a, b,…., h) – неизвестные коэффициенты функции 𝜑; - ошибка аппроксимации.

Средний квадрат ошибки аппроксимации: 1/n = 1/n = 1/n * S

Коэффициент1/n не влияет на исследование функции S. Найдем коэффициенты функции a, b,…,h из условия минимизации.

= -2 * = 0

Получаем : , ,….,

= (x, y,…, t, , ,…., ) – является наилучшей функцией с т.з. минимизации ошибки отклонения.

Точность аппроксимации определяется дисперсией: = + , будет равна 0

= , где к- число параметров, - статистические данные, - расчетные данные.

Для оценки степени влияния остаточной дисперсии вводим коэффициент: = = 1-

– коэффициент детерминации. Он показывает на сколько % независимые параметры оказывают влияние на исследуемую величину z. Если независимый параметр только один, то является оценкой корялляционного отношения это

А если еще зависимость линейная, то равен квадрату коэффициента корреляции: =

Одномерный РА

Рассмотрим линейный вариант, т.е. аппроксимирующая функция будет: Z = + b , тогда функция S =

= -2 * = -2

Получаем систему:

= = 1/n ( – )

= 1/(n-2) = x +

Для расчета мы можем использовать формулы из ТВ:

= - a , где и - эмпирические мат. ожидания.

= а(x – )+

можно оценить как: = - *
-эмпирический ковареационный момент

= = - эмпирические стандарт. средние квадратич. отклонения

На практике коэффициент ковариации считают: = 1/n -(1/n ) (1/n * )

Если известно, что X и Z имеют норм. распределение, то полученная аппроксимирующая функция точно совпадает с регрессией. Это связано с тем, что норм. распределение СВ могут зависеть др от др только линейно. А т.к. в реальном мире согласно центральной предельной теореме большинство СВ распределено норм., то линейные связи между переменными имеют большое значение. Всвязи с погрешностями исх. данных и влияния неучтенных факторов , коэффициент а с некоторой достоверностью мы можем определить как значение внутри интервала. Доверительный интервал для а:

- * < a < + * , где находится как Ф( ) =

37.Пусть СВ Z зависит от нескольких параметров . Предположим, что зависимость линейная , т.е. структура аппроксимирующей функции

Z = b + Нужно оценить коэффициенты b и . i = 1….. k

Предположим, что в эксперименте проведена серия из n- испытаний и - номер серии. Коэффициенты b и определяются из условия минимизации суммы квадратов отклонений истинных значений Z и вычисляемых значений, т.е. min (b и ) . Проводя минимизацию по b , получим что

b = - , где = 1/n = 1/n эмпирические мат. ожидания

Подставим в выражение b : → min

Находим частные производные выражения по и приравниваем к 0

……….

Получим систему из k уравнений с k неизвестными. Решая систему получим: , , …. , и аппроксимирующая функция :

= + ( – )

Оценим остаточную дисперсию: = , где n – число измерений, k – число переменных.

Для упрощения структуры аппроксимации проведем анализ влияния переменных др на др. Строим корреляционную матрицу:

Коэффициент корреляции: Если найдутся переменные, для которых ⃓ ⃓= 1 то одну из них можно опустить. Если для некоторых переменных 0, то эту переменную можно не учитывать.

38.

Нелинейный регрессионный анализ.

В этом случае определяющая функция имеет не линейную структуру. Если нет особых требований, то чаще всего это полином второй и третьей степени. Для полинома второй степени

коэффициенты определяются из системы:

Корреляционное отношение оцениваются как:

Если структура аппроксимирующей функции Y=а𝜑(х)+b ,( где 𝜑(х) - элементарная функция), то для оценки коэффициентов сводим ее к линейной путем замены z= 𝜑 (x)

Получаем Y=az+b

В общем случае не линейная регрессия сводится к минимуму путем логарифмирования выражения.

39.При исследовании случайных явлений некоторые из них меняются во времени. Например, длина очереди, рейтинг политической партии, курс доллара.

СВ, меняющаяся во времени называют случайными функциями(СФ). СФ изучает теорема случайных процессов(ТСП). Методы ТСП используются в теории автоматического управления , анализе и планировании финансовой деятельности. Если каждому значению t Т поставлена в соответствие СВ Х(t) , то говорят , что на множестве Т задана СФ. Чаще всего Т – интервал времени. И если t – время, то Х(t) – случайный процесс. Случайный процесс может быть задан аналитически, с помощью распределения ,графически.

Если зафиксировать время t , тогда СВ Х будет принимать случайные значения на некотором множестве элементарных событий Ω , т.е. случайный процесс описывается как Х (t,ω) , где t Т ( временной интервал) ,

ω Ω (пространство элементарных событий). При фиксированном t получаем СВ: Х( ; ω), называемую сечением процесса : Х( ; ) Реализация случайного процесса зависит от времени. Случайный процесс представляет собой переходы системы из одного состояния в др случайным образом. В зависимости от множества состояния случайные процессы делят на классы:

1. Дискретный процесс с дискретным временем

2. Дискретный процесс с непрерывным временем

3. Непрерывный процесс с дискретным временем

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем

В 1 и 3 случае множество t принимает конкретное значение Т = {t1,t2,….tn}. В 1 случае множество значений СФ дискретно, т.е. задается дискретным распределением, во 2 случае Х(t) задается непрерывным распределением, во 2 и 4 случае множество t непрерывно, а множество состояния различно.

Основные характеристики случайных процессов:

1. Мат. ожиданием случайных процессов Х(t) называется не СФ (t) , которая при любом фиксированном значении аргумента t равно мат. ожид. сечения случайного процесса. (Т) = (Т)

Возможные обозначения

Свойства мат. ожидания:

· Мат. ожид. неслучайной функции равно самой функции М(f(t)) = f(t)

· Неслучайный множитель можно вынести за знак мат. ожид. М(f(t)* х(t)) = f(t) * (t)

· Мат. ожидание разности/суммы случайных процессов равно разности/сумме мат. ожиданий.

М(х(t) у(t)) = (t) (t) Функция (t) характеризует поведение случайного процесса в среднем.

2. Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция , которая при каждом значении t равна дисперсии соответствующего сечения. = ДХ(t) = M (t) – (t) Дисперсия характеризует рассеяние случайных процессов.

Свойства дисперсии:

· Дисперсия неслучайной функции равна 0 Д(f(t)) = 0

· Дисперсия случайных процессов неотрицательна. . = (t) 0

· Дисперсия произведения неслучайной функции на случайный процесс равна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию процесса. =

3. Среднее квадратическое отклонение. (t) =

4. Корреляционная функция случайного процесса. Для анализа связей между случайными процессами используют корреляционную функцию (аналог ковариации) = М((х – ) * (У- )) Функция ковариации равна мат. ожид. от произведения отклонений СВ от своих мат. ожид.

Автокорреляционной функцией случ. процесса называется неслучайная функция 2- ух аргументов (t1,t2) , которая при каждой паре значений равна ковариации значений х(t1), х(t2).

(t1,t2) = М ((х(t1) - m(t1)) * (х(t2) - m(t2))) = М (х(t1)* х(t2) – (t1) * (t2))

Свойства автокорреляционной:

· Функция при одинаковых значениях элементов равна дисперсии. (t1,t2) = Свойство позволяет сократить характеристики процесса отбросив дисперсию.

· Коммутативность. (t1,t2) = (t2, t1) При перестановке сечения функция не меняется.

· Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию , то ковариационная функция не изменится.

· Если случайный процесс умножить на неслучайную функцию, то ковариационная функция умножится на произведение значений неслучайной функции от фиксированного времени.

· Модуль автокорреляционной функции не превышает произведения средних квадратических отклонений.

⃓ ⃓ (t1)* (t2)

Замечание:

Иногда вместо функции используют нормированную корреляционную функцию.

Для определения степени зависимости 2-ух процессов используют взаимную корреляционную функцию.

= М ((X(t1) – (t1)) * (Y(t2) – (t2))), где X(t) и Y(t) – называется некоррелированным, если их

По аналогии с автокорреляционной функцией получаем нормированную функцию. =

Наиболее изучаемым классом случайных процессов является стационарным. Случайный процесс Х(t) называется стационарным, если его мат. ожидание (t) не меняется во времени, а автокорреляционная функция зависит только от расстояния во времени = . Большинство стационарных процессов обладают эргодическим свойством. Его смысл: По одной достаточно длинной реализации можно судить о свойствах всего процесса , т.е. характеристики случайного процесса и определяются как среднее по одной реализации. Достаточным условием эргодичности процесса является стремление к 0 корреляционной функции.

40.Рассмотрим некоторую системуS, которая проходит случайный процесс , т.е. с течением времени система переходит из одного состояния в др. → →…..

Если число состояний конечно, то процесс называют случайным с дискретными состояниями. Если переходы возможны в любой момент времени, то процесс относится к непрерывным. Случайный процесс с дискретными состояниями называют Марковским, если для любого момента времени вероятность перехода из одного состояния в другое зависит только от предыдущего состояния и не зависит от того, каким образом система попала в предыдущее состояние. Такие процессы называются процессы беспоследействия. Будущее здесь зависит только от настоящего , но не от прошлого.

С помощью Марковских процессов моделируют рост популяций, организация и обслуживание очередей в теории массового обслуживания.

Случайные процессы дискретными состояниями удобно отображать с помощью графических состояний. В нем возможные состояния обозначаются S возможные переходы стрелками, т.е.

Для описания марковского процесса используют вероятности состояния. (t), (t), ….. – вероятность того, что в момент времени t система находится в соответствующем состоянии . , …..

Очевидно, что для любых вероятностей t сумма состояний должна быть равно единице, т.е. = 1

Предположим, что время t меняется дискретно, т.е. переход S из одного состояния в другое проходит только в моменты времени …….., где - начало процесса, - = – - шаг процесса.

Тогда процесс можно рассматривать как последовательность или цепь событий S(0) ; S(1), где S(0) – шаг состояния системы. S(1) – состояние после 1- го шага и т.д.

Такой процесс с дискретным временем и дискретным состоянием называют марковским процессом.

Вероятность состояния этого процесса рассматривается как вероятность того, что на каждом шаге система находится на

(k) = P{S(k) = }, т.е. для нахождения вероятностей P( ) надо знать первоначальное распределение вероятностей (0), (0), …., (0), т.е. вероятности состояния в начальный момент времени и вероятности переходов (k)

Вероятностью переходов (k) называют вероятность перехода системы S на к-ом шаге и состояние от .

Цепи маркова называются однородной , если вероятности переходов не зависит от шага к. Такая цепь маркова задается с помощью векторов состояния системы ( (0), (0), …., (0)) и матрицы переходов.

Р = Элементы матрицы обладают свойствами: 0 = 1

Для однородной цепи справедлива формула : Р(n) =

1 23