ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Расчет на жесткость стержня постоянного сечения

12 3 4

Растяжение

Краткие теоретические сведения и простейшие задачи

Растяжением называется вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникает единственный внутренний силовой фактор – продольная сила, являющаяся равнодействующей нормальных напряжений, равномерно распределенных по сечению.

Рис. 3.1

, где s - нормальное напряжение, А – площадь поперечного сечения.

Условие прочности , где - допускаемое напряжение , где s_пред – предельное напряжение. - для пластичного материала n = 1,5¸2,5. - для хрупкого материала n = 3¸5.

Для проведения проверочного расчета необходимо, по известным внешним силам и размерам сечения вычислить нормальные напряжения s и проверить выполнение условия прочности.

При проектировочном расчете необходимо по известным внешним силам и известным характеристикам материала определить из условия прочности размеры поперечного сечения.

Пример 1

Рис. 3.2

На жесткий стержень ВС действует сила F = 10 кН. От опрокидывания стержень удерживает подкос СД. Определить необходимую площадь сечения подкоса, изготовленного из стали с пределом текучести 240 МПа, если l = 0,8 м.

Решение

Рассечем стержень СД и рассмотрим равновесие части, содержащей стержень ВС.

Рис. 3.3

N_СД – продольная сила стержня СД. x_B, y_B – реакции в шарнире B.

Составим уравнения статического равновесия

;

С точки зрения расчета на прочность нет необходимости определять реакции шарнира В. Из суммы моментов относительно опоры В получаем: , тогда ; ; , тогда ,

кН,

из условия прочности ,

МПа,

откуда мм².

Минимальная площадь сечения, обеспечивающая прочность стержня 139,375 мм² = 140 мм².

Пример 2

Жесткий стержень ВС загружен по всей длине распределенной нагрузкой интенсивности q = 10 .

Рис. 3.4

Определить запас прочности подкоса CD, если площадь его поперечного сечения А = 1,4 см². Материал подкоса сталь с пределом текучести 240 МПа, l = 0,6 м. Определить вертикаль-ное смещение шарнира С (рис. 3.4).

Решение

Рис. 3.5

В шарнире В возникают реакции x_B и y_B, но с точки зрения расчета на прочность они не нужны, тогда ограничимся суммой моментов относительно точки В. Очевидно, сила N_CD – сжимающая, поэтому направим ее к сечению

или , откуда

кН.

Напряжение, возникающее в стержне СD,

МПа.

Запас конструкции .

Запас достаточен.

Определим вертикальное смещение т. С.

Под действием распределенной нагрузки на жесткий стержень ВС, последний поворачивается в шарнире В на угол j (рис. 3.6). Тогда стержень СD укорачивается на величину Dl_CD = CC₂.

Рис. 3.6

По закону Гука

, где N_CD – продольная сила в стержне CD, l_CD – длина стержня CD,

мм,

тогда мм.

Расчет на прочность и жесткость ступенчатого стержня при осевом растяжении

Пример. Для заданной схемы нагружения ступенчатого стержня определить из расчета по допускаемым напряжениям параметр площади сечения А, обеспечивающий его прочность. Проверить жесткость стержня, при необходимости скорректировать параметр площади.

Рис. 3.7

F = 10 кН, q = 20 кН/м, l₁ = 0,6 м, l₂ = 0,8 м, l₃ = 1,2 м, ст. 45,

s_т = 340 МПа.

Определим реакцию в защемлении R

R = 20 + 20×1,8 = 56 (кН).

Основные этапы расчета

1. Построение эпюры продольной силы.

2. Построение эпюры сравнительных напряжений, определение положения опасного сечения.

3. Определение параметра площади А из расчета на прочность по допускаемым напряжениям.

4. Определение перемещений и построение эпюры перемещений. Проверка жесткости.

3.2.1. Построение эпюры продольных сил.Эпюра продольных сил строится методом сечений. Рассмотрим три участка (рис. 3.7).

Участки выбирают так, чтобы в пределах участка продольная сила описывалась одной функцией или сохраняла постоянное значение.

I участок. Рассечем стержень по сечению I-I и рассмотрим левую часть. За переменную длины z₁ возьмем расстояние от защемления (неподвижного сечения) до сечения 0 £ z₁ £ l₁ (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Действие отброшенной правой части заменяем действием неизвестной силы N₁(z₁), направляя ее растягивающей относительно сечения.

N₁(z₁) найдем из уравнения статического равновесия оставленной части:

, откуда

- линейная функция.

Для построения прямой необходимо две точки. Определим значение продольной силы на границах участка.

N₁(0) = F + q×l₁ = 10 + 20×0,6 = 10 + 12 = 22 (кН),

z₁ = 0 соответствует защемлению

N₁(l₁) = F = 10 кН, z₁ = l₁ соответствует левому торцу.

Нанесем полученные значения на эпюру (рис. 3.7, а).

II участок. Рассечем стержень по сечению II-II и рассмотрим левую часть. Z₂ обозначим расстояние от защемления до сечения
0 £ z₂ £ l₂ (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Продольную силу N₂ определим из уравнения статического равновесия оставленной части. N₂ – F - q×l₁ + R = 0, откуда

N₂ = F + ql₁ - R = 10 + 20×0,6 – 56 = -34 (кН).

Продольная сила на втором участке постоянная, сжимающая, равная -34 кН (рис. 3.7, а).

III участок. Рассечем стержень по сечению III-III и рассмотрим правую часть. За z₃ примем длину от начала участка. Длина оставленной части (l₃ – z₃), где 0 £ z₃ £ l₃ (рис. 3.10).

Рис. 3.10

Неизвестную продольную силу N₃(z₃), направленную растягивающей относительно сечения, определим из уравнения статического равновесия оставленной части.

F - q×(l₃ – z₃) – N₃×(z₃) = 0, откуда

- линейная зависимость.

Для построения прямой вычислим значения N₃×(z₃) на концах участка

N₃(0) = F - q×l₃ = 10 - 20×1,2 = -14 (кН),

N₃(l₃) = F = 10 кН,

z₃ = 0 соответствует границе II и III участков,

z₃ = l₃ соответствует правому торцу (рис. 3.7, а).

3.2.2. Определение параметра площади поперечного сечения.Для определения параметра площади поперечного сечения А необходимо выявить положение опасного сечения. Опасным является сечение, в котором возникают наибольшие напряжения.

Нормальные напряжения в сечениях растянутого стержня распределяются по площади сечения равномерно и могут быть вычислены: , где N(z) – продольная сила в сечении;
А(z) – площадь поперечного сечения.

Построим эпюру сравнительных напряжений (сохраняя в знаменателе А).

На первом участке напряжения ;

;

зависимость напряжений от координаты длины линейная. Для построения прямой найдем значения напряжений на границах участка

; .

Аналогично на втором участке, где продольная сила постоянна,

На третьем участке:

Найдем значения на границах участка

;

Построим эпюру сравнительных напряжений (рис. 3.7, б).

Опасное сечение в защемлении со стороны первого участка

Площадь А найдем из условия прочности

, где - допускаемое напряжение.

, где - опасное для материала напряжение,

n – коэффициент запаса;

если материал пластичный s_оп = s_т, n = 1,5 ¸ 2,5,

если материал хрупкий s_оп = s_в, n = 3 ¸ 5,

сталь 45 – материал пластичный s_оп = s_т = 340 МПа;

тогда, выбирая коэффициент запаса n = 2, получим допускаемое напряжение МПа.

По условию прочности

, откуда м².

Минимальная площадь, обеспечивающая прочность

А = 129,4 мм² @ 130 мм².

Построим эпюру истинных напряжений:

МПа;

МПа.

По найденным значениям напряжений построим эпюру истинных напряжений (рис. 3.7, в).

Для проверки жесткости нужно вычислить перемещения торцевых сечений: W(l₂ + l₃) и W(l₁). Они не должны превосходить допускаемых перемещений [Dl] = 0,001L, где L – длина, на которой оцениваемое перемещение получено. Для заданного стержня на левом торце W(l₁) £ 0,001× l₁, на правом торце W(l₂ + l₃) £ 0,001(l₂ + l₃).

Перемещение любого сечения можно определить по закону Гука

, где W₀ – перемещение точки отсчета.

Рассмотрим первый участок:

Найдем перемещения на концах участка

;

W₁(l₁) = 0,00037 м = 0,37 мм.

Зависимость параболическая ; - выпуклая функция (рис. 3.7, г).

Рассмотрим второй участок:

Значения на концах участка

;

W₂(z) – линейная функция (рис. 3.7, г).

Третий участок:

- функция параболическая,

м,

W₃(l₃) = 0,64 мм,

- парабола вогнутая.

Заметим, что функция продольной силы является производной от функции перемещения.

На третьем участке продольная сила пересекает ось, следовательно, функция перемещения имеет экстремум (минимум). Найдем координату точки экстремума

, откуда м,

мм.

Эпюра перемещений (рис. 3.7, г).

Проверяем жесткость: допускаемое перемещение на левом торце [Dl₁] = 0,001×0,6 = 0,0006 м, перемещение W(l₁) = 0,00037 м < 0,0006 м, условие жесткости выполняется.

На правом торце м.

Полученное перемещение 0,00076 м < 0,002 м, условие жесткости выполняется.

Расчет на жесткость стержня постоянного сечения

Выполнить расчет на прочность и жесткость стержня постоянного сечения, представленного на рис. 3.11.

Рис. 3.11

l₁ = 0,6 м; l₂ = 1,2 м; l₃ = 0,8 м; F = 10 кН; q = 20 кН/м; сталь 45; s_т = 340 МПа.

расчет на жесткость при растяжении состоит в проверке выполнения условия жесткости торцевых сечений. Для рассматриваемого стержня и , где , где L – длина, на которой оцениваемое перемещение получено. Перемещение W(z) может быть получено по закону Гука

где W₀ – перемещение точки отсчета.

Поэтому найдем функции продольной силы на участках стержневой системы и построим эпюру продольной силы. Причем переменную длины z выгодно выбирать от начала участка в направлении от неподвижного сечения (защемления). Определим реакцию в защемлении R из уравнения статического равновесия стержня:

, откуда кН.

I участок. Рассечем стержень по сечению i-i и оставим левую часть длиной (l₁-z₁), где .

Рис. 3.12

N₁(z₁) – продольная сила на первом участке, заменяющая действие отброшенной правой части на оставленную левую (рис. 3.12).

- линейная функция.

значения на концах участка

кН; эпюра (рис. 3.11, а).

II участок. Рассечем стержень по сечению iI-iI и рассмотрим левую часть, координату z₂ возьмем от защемления (рис. 3.13).

Рис. 3.13

N₂(z₂) = ql₁ – R – постоянна на всем втором участке.

N₂ = 20×0,6 -18 = -6 (кН). эпюра (рис. 3.11, а).

III участок. Рассечем стержень по сечению iII-iII и рассмотрим правую часть (z₃ выберем от начала участка) (рис. 3.14).

Рис. 3.14

. Из уравнения статического равновесия (суммы сил вдоль оси z)

, откуда

– линейная функция.

Значения на концах участка:

(кН); (кН).

Эпюра (рис. 3.11, а).

Стержень должен быть прочным, поэтому сначала назначим площадь поперечного сечения из условия прочности .

Поскольку сечение постоянно, максимальное напряжение достигается в том же сечении, в котором максимальна продольная сила. Для рассматриваемого стержня

МПа, откуда мм².

Построим эпюру перемещений.

–

параболическая функция. Точка отсчета неподвижна, поэтому W₀ = 0.

Найдем перемещение левого торца и распорядимся кривизной.

м = 0,5 мм.

Перемещение второго участка.

- линейная функция.

- сечение защемлено.

м = -0,51 мм.

На третьем участке точка отсчета z₃ является концом второго участка, поэтому

значения на концах участка W₃(0) = -0,00051 м.

мм.

Уточним вид эпюры перемещений:

продольная сила является производной функции перемещения по координате длины, следовательно, в точках пересечения эпюрой продольной силы оси (N(z) = 0) перемещение может иметь экстремум, в рассматриваемом случае минимум.

Найдем W_min. Определим точку экстремума из уравнения

, откуда