ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Расчет установившихся режимов электрических систем

1.схема замещения электрической сети не содержит замкнутых контуров

Индивидуальное задание

Для схемы, представленной на рис.1 найти токи в ветвях разомкнутой электрической сети, используя матричную форму записи 1-го закона Кирхгофа. Токи нагрузки заданы в таблице 1.

Рис. 1

Таблица 1


А	А	А
	5+j6

Данный раздел должен содержать:

· краткие теоретические сведения,

· обобщенное уравнение состояния,

· вычисление обратной матрицы для матрицы классическим методом

· вычисление обратной матрицы для матрицы в системе MATLAB

· вычисление токов в ветвях аналитическим методом и с помощью MATLAB- программы,

1.краткие теоретические сведения

2.обобщенное уравнение состояния

(1)

Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения.

Уравнение по первому закону Кирхгофа

Уравнение по второму закону Кирхгофа

3.вычисление обратной матрицы для матрицы классическим методом

1) Записываем матрицу , транспонированную к матрице M.

2) Заменяем каждый элемент матрицы определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3) Этот определитель сопровождаем знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4)Делим полученную матрицу на определитель матрицы M.

вычислением определитель классическим методом

4. вычисление обратной матрицы для матрицы в системе MATLAB

>> M=[-1,1,1;0,-1,0;0,0,-1];

>> inv(M)

ans =

-1 -1 -1

0 -1 0

0 0 -1

5. вычисление токов в ветвях аналитическим методом и с помощью MATLAB- программы

1) аналитическим методом

2)с помощью MATLAB- программы

>> J=[5+i*6;5+i*6;3+i*4];

>> Minv=[-1,-1,-1;0,-1,0;0,0,-1];

>> -Minv*J

ans =

13.0000 +16.0000i

5.0000 + 6.0000i

3.0000 + 4.0000i

2.схема замещения электрической сети содержит замкнутые контуры

Индивидуальное задание

Для схемы представленной на рис.2 определить токи в ветвях схемы, напряжения в узлах. Сеть трехфазная. . Исходные данные по вариантам заданы в таблице 2.

Рис. 2

Таблица 2


А	А	А	Ом	Ом	Ом	Ом
	50	100	100	1	2	3	2

Данный раздел должен содержать:

· краткие теоретические сведения,

· первую и вторую матрицы инциденций,

· обобщенное уравнение состояния,

· решение матричного уравнения состояния двумя способами (методом обратной матрицы, методом Гаусса),

· решение матричного уравнения состояния методом Крамера в системе MATLAB,

· сравнение полученных промежуточных результатов, найденных разными способами,

· вычисление узловых напряжений аналитически,

· нахождение узловых напряжений с помощью MATLAB- программы,

· сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

1.краткие теоретические сведения

2. первая и вторая матрица инциденций

Первая матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь вид:

В нашей схеме замещения всего один независимый контур, в соответствии с этим вторая матрица инциденций примет вид:

3.обобщенное уравнение состояния

[1,-1,0,0;-1,0,0,-1;0,0,-1,1;-1,-2,3,2]

4.решение матричного уравнения состояния двумя способами (методом обратной матрицы, методом Гаусса)

1) метод обратной матрицы

Находим решение с помощьюMATLAB

Обозначим матрицу

а обратную

>> m=[1,-1,0,0;-1,0,0,-1;0,0,-1,1;-1,-2,3,2];

>> minv=inv(m);

>> F=[-50;-100;-100;0];

>> I=minv*F

I =

87.5000

137.5000

112.5000

12.5000

2) метод Гаусса

Пусть I₁₂=x₁;I₁₄=x₂;I₃₄=x₃;I₂₃=x₄;

Тогда запишем систему уравнений

На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса.

Из последнего уравнения системы определяем . Из предпоследнего уравнения находим . Проведя аналогичные вычисления, получаем

В результате получаем вектор-столбец искомых неизвестных

5.решение матричного уравнения состояния методом Крамера в системе MATLAB

>> d=[1,-1,0,0;-1,0,0,-1;0,0,-1,1;-1,-2,3,2];

>> d1=[-50,-1,0,0;-100,0,0,-1;-100,0,-1,1;0,-2,3,2];

>> d2=[1,-50,0,0;-1,-100,0,-1;0,-100,-1,1;-1,0,3,2];

>> d3=[1,-1,-50,0;-1,0,-100,-1;0,0,-100,1;-1,-2,0,2];

>> d4=[1,-1,0,-50;-1,0,0,-100;0,0,-1,-100;-1,-2,3,0];

>> det(d)

ans =

>> det(d1)

ans =

>> det(d2)

ans =

>> det(d3)

ans =

>> det(d4)

ans =

>> x1=det(d1)/det(d)

x1 =

87.5000

>> x2=det(d2)/det(d)

x2 =

137.5000

>> x3=det(d3)/det(d)

x3 =

112.5000

>> x4=det(d4)/det(d)

x4 =

12.5000

6.сравнение полученных промежуточных результатов, найденных разными способами

Токи	Методы решения
Метод обратной матрицы	метод Гаусса	метод Крамера в системе MATLAB
I₁₂	87.5	87.5	87.5
I₁₄	137.5	137.5	137.5
I₃₄	112.5	112.5	112.5
I₂₃	12.5	12.5	12.5

После сравнения мы види, что все токи абсолютно идентичны

7.вычисление узловых напряжений аналитически

По закону Ома определим падение напряжения на ветвях схемы

Используя уравнение , получаем

Перемножая матрицы в матричном уравнении, получаем уравнения с неизвестными, т.е. данная система переопределена. В нашем случае можно выбросить любое уравнение переопределенной системы и решить ее также каким-либо методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

8.нахождение узловых напряжений с помощью MATLAB- программы

Вычеркиваем из матрицы M^t последнюю строку и из матрицы U_в аналогично.

>> m=[1,-1,0;-1,0,0;0,0,-1];

>> UB=[87.5;275;337.5];

>> inv(m)*UB

ans =

-275.0000

-362.5000

-337.5000

Отсюда следует, что

9.сравнение полученных результатов, найденных разными способами

Напряжения	Методы решения
аналитически	С помощьюMATLAB
U₁
U₂	5637,5	5637,5
U₃	5662,5	5662,5

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Индивидуальное задание

Данный раздел должен содержать:

· краткие теоретические сведения,

· исследование системы линейных алгебраических уравнений на совместность,

· аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

· решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB,

· сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

1.краткие теоретические сведения

2.исследованием системы линейных алгебраических уравнений на совместность

Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы коэффициентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

>> A=[2, -1, 1, -1;2, -1, 0,-3;3 -1, 1, 1;1, 2, -4, 5]; rank(A)

ans =

>> A1=[2, -1, 1, -1, 1; 2 ,- 1, 0,- 3,5;3,-1, 1, 1, -3;1, 2, -4, 5, -6]; rank(A1)

ans =

Получили, что ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

3.аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

В результате получаем вектор-столбец искомых неизвестных

4. решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB

>> A=[1 2 -4 5;2 -1 1 -1;2 -1 0 -3;3 -1 1 1];

B=[-6;1;5;-3];

>> AB=[A B]

AB =

1 2 -4 5 -6

2 -1 1 -1 1

2 -1 0 -3 5

3 -1 1 1 -3

>> rref(AB)

ans =

1.0000 0 0 0 1.3333

0 1.0000 0 0 5.6667

0 0 1.0000 0 1.3333

0 0 0 1.0000 -2.6667

>> X=(A\B)'

X =

1.3333 5.6667 1.3333 -2.6667

5. сравнение полученных результатов, найденных разными способами

	метод Гаусса	метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB
X₁	4/3	1.3333	1.3333
X₂	17/3	5.6667	5.6667
X₃	4/3	1.3333	1.3333
X₄	-8/3	-2.6667	-2.6667

После сравнения мы видим, что корни системы, полученные методом Гаусса

абсолютно идентичны корням, полученным с помощью методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB.