ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Сложные ставки ссудных процентов

12 3

Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:

i (%) — простая годовая ставка ссудного процента;

i — относительная величина годовой ставки процентов;

I_г — сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I — общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р — величина первоначальной денежной суммы;

S — наращенная сумма;

K_н — коэффициент наращения;

п — продолжительность периода начисления в годах;

д — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях.

Величина К являетсявременной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант 1 используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2. берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням;

Этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа. Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Основная формула для определения наращенной суммы:

или

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей, приведенной) величиной суммыS.

Определение современной величины наращенной суммы называетсядисконтированием, а определение величины наращенной суммы —компаундингом.

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n1, n₂, …n_N используются ставки процентов i₁, i₂, … I_N, то

При N интервалах начисления наращенная сумма составит:

Простые учётные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называетсядисконтированием по учетной ставке, а такжекоммерческимилибанковским учетом.

Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь

D(%) — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина учетной ставки;

D_г — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая сумма процентных денег;

S — сумма, которая должна быть возвращена;

P — сумма, получаемая заемщиком.

Тогда имеем следующие формулы:

Д

ля наращенной суммы получаем:

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств.

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

i_c — относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

j — номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Очевидно, что по прошествии п лет наращенная сумма составит:

Сравнивая с простой ставкой коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рис. 1.

Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной — рубли.

Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка — 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста.

Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении более пли менее значительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке (см. рис 1).

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

Где:

n = n_a + n_b

n_a – целое число лет;

n_b – оставшаяся дробная часть года.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговариваетсяноминальная ставка процентов j годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:

m – количество интервалов начисления в году.

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

е = 2,71828….

И
з этой формулы следует:

Т
огда:

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях.

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так можно выразить Р – первоначальную сумму (дисконтирование):

Эта формула, а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, чтотекущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Сложные учётные ставки

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.

Пусть

d_с (%) — сложная годовая учетная ставка;

d_с — относительная величина сложной учетной ставки;

f — номинальная годовая учетная ставка.

П
о прошествии п лет наращенная сумма составит:

Сравнивая (формулы сложных декурсивных и антисипативных ставок, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисииативный метод) идет быстрее.

Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно (рис. 2).

Из формулы также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными.

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий — меньше года — интервал, начисление т раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом.

Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем:

Д
ля начисления процентов т раз в году формула имеет такой вид:

Из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы:

Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления п.

Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными — наибольший рост капитала мы имели бы в случае начисления процентов по простои учетной ставке. (Следует заметить, что на практике она не применяется на длительных, больше года. периодах начисления.)

Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными процентными ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.

12 3