ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Енергія гармонічних коливань

12 3

Розв’язок диференційного рівняння незатухаючих гармонічних коливань

Розв’яжемо рівняння (1.16) для електричних коливань, яке являється лінійним однорідним диференційним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Порядок його розв’язку був розглянутий у розділі 1.2. Складаємо характеристичне алгебраїчне рівняння . Його корені . Загальний розв’язок рівняння (1.16) записуємо у вигляді (1.11)

. (1.17)

Константи інтегрування А і В знайдемо із початкових умов:

при t = 0 . (1.18)

Знайдемо закон зміни струму з часом, продиференціювавши рівняння (1.17). . (1.19)

Підставляємо умови (1.18) в (1.17) і (1.19). Маємо систему алгебраїчних рівнянь . Отже із (1.17) одержуємо (1.20) гармонічний закон зміни заряду. Тут врахована формула Ейлера

, яку можна одержати, скориставшись степеневими рядами (1.5)-(1.8).

Аналогічно для механічних коливань зміщення від положення рівноваги . (1.21)

Рівняння (1.20), (1.21) називаються рівняннями гармонічних незатухаючих коливань. Намалюємо графіки цих коливань.

Характеристики гармонічних коливань. Фазові співвідношення

В загальному випадку (при інших початкових умовах, ніж (1.18) рівняння гармонічних коливань мають вид

(1.22)

Зміщенняx(t), q(t) – відхилення фізичної величини від рівноважного значення в момент часу t.

Амплітудах_о, q_o – найбільше відхилення фізичної величини від рівноважного значення. Фактично це коефіцієнт перед гармонічною функцією. Для незатухаючих коливань амплітуда постійна, при затухаючих вона зменшується з часом.

Фаза –аргумент гармонічної функції. Якщо фазу поділити на період гармонічної функції 2π, одержимо кількість коливань, які відбулися від початку коливань до моменту часу t.

Початкова фаза φ – будучи поділеною на 2π показує кількість коливань, що відбулися до моменту початку відліку часу.

Період Т – Час одного повного коливання. За період фаза коливань змінюється на 2π, тобто маємо , або

. Після спрощень одержуємо

. (1.23)

В розділі 1.3 були введені позначення для пружинного маятника і для коливального контура. Підстановка в (1.23)

дає вирази для періодів коливань:

пружинного маятника ; (1.24)

у коливальному контурі (формула Томсона) . (1.25)

Частотаν – кількість коливань за одиницю часу . (1.26)

Вимірюється частота в Герцах 1Гц = 1 с^-1.

Циклічна частотаω_о - кількість коливань за 2π секунд.

. (1.27)

Знайдемо закон зміни з часом струму І(t) і напруг на конденсаторі U_c(t) і на котушці U_L(t) коливального контуру, виходячи з закону зміни заряду (1.20). Скористаємось також формулами додаткового кута, щоб всі закони виразити через одну гармонічну функцію, наприклад, сos.

; (1.28)

; (1.29)

. (1.30)

Одержали, що фази струму і напруг не співпадають. Напруга на конденсаторі відстає по фазі від струму на

, а на котушці випереджає на

. Фази напруг на конденсаторі і на котушці відрізняються на

, що складає половину періоду гармонічної функції. Тому кажуть, що напруги на конденсаторі і на котушці змінюються в протифазі. Намалюємо графіки зміни струму і напруг.

У виразах (1.28) – (1.30) були позначені амплітуди напруг і струму: , (1.31)

, (1.32)

. (1.33)

Згідно із законом Ома для дільниці кола, відношення напруги до струму дорівнює опорові. Це дає можливість знайти реактивні опори конденсатора Х_С і котушки Х_L:

; (1.34)

. (1.35)

Енергія гармонічних коливань

Механічні коливання У будь-який момент часу t повна енергія пружинного маятника складається із кінетичної енергії руху муфти і потенціальної енергії деформованої пружини

. Врахуємо, що

(див. розділ 1.3), одержуємо

Електричні коливання У будь-який момент часу t повна енергія коливального контуру складається із енергії електричного поля конденсатора і енергії магнітного поля котушки

. Враховуючи (1.20), (1.29) і маємо

. Так як

, одержуємо

Отже повна механічна енергія пружинного маятника при незатухаючих коливаннях (1.36)

не залежить від часу, тобто залишається сталою. Відбувається перетворення потенціальної енергії к кінетичну і навпаки. Вона, як видно із (1.36) пропорційна квадрату амплітуди і квадрату частити і дорівнює максимальній кінетичній, або максимальній потенціальній енергії.

Енергія незатухаючих коливань у коливальному контурі

(1.37)

також не залежить від часу, пропорційна квадрату амплітуди і квадрату частоти і дорівнює максимальній енергії електричного поля конденсатора, або максимальній енергії магнітного поля котушки.

Хвилі

12 3