ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Геометричне зображення комплексного числа. Модуль та аргумент комплексного числа

123 4

Візьмемо на площині декартову прямокутну систему координат (рис. 1.1) Домовимось комплексне число зображати точкою площини, абсциса якої у вибраній нами декартовій прямокутній системі координат дорівнює а, а ордината – b. Так між множиною всіх комплексних чисел і сукупністю всіх точок площини встановлюємо взаємно однозначну відповідність: кожному комплексному числу відповідає одна і тільки одна точка площини і, навпаки, кожна точка відповідає одному і тільки одному комплексному числу . Очевидно, комплексне число 0 зображається точкою О площини, яку взято як початок координат.

Дійсні числа зображують точками осі абсцис , яку називають в цьому випадку дійсною віссю. Суто уявні числа зображують точками осі ординат Oy, тому цю вісь називають уявною. Площину, між точками якої і комплексними числами встановлено взаємно однозначну відповідність, щойно описаним способом, називають комплексною площиною.

Довільному комплексному числу ставимо у відповідність напрямлений відрізок комплексної площини , початком якого є початок координат О, а кінцем – точка М з координатами . Інакше, комплексному числу ставимо у відповідність напрямлений відрізок , що виходить з початку координат і проекція якого на вісь абсцис дорівнює а, а на вісь ординат – b. Числу 0 ставимо у відповідність точку О – початок координат. Так між множиною всіх комплексних чисел і сукупністю всіх напрямлених відрізків площини, що виходять з початку координат , встановлено взаємно однозначну відповідність. Очевидно, кожному дійсному числу а відповідає відрізок, що лежить на дійсній осі, а всякому суто уявному числу – відрізок, який лежить на уявній осі, і навпаки. Зокрема, одиничним відрізкам, що лежать на дійсній і уявній осях і мають напрями цих осей, відповідають числа 1 та і.

Як бачимо, комплексні числа, так само як і дійсні, характеризують реальні об’єкти. Якщо дійсні числа описують величини, які зображуються напрямленими відрізками, розташованими на прямій, то комплексні числа характеризують більш складні й більш загальні величини, які зображуються напрямленими відрізками площини.

Модулем комплексного числа називається число , яке позначається r або , тобто

(1.4)

Модуль комплексного числа завжди є дійсне невід’ємне число: , причому тоді і тільки тоді, коли .

Із визначення модуля комплексного числа випливає, що для будь-яких комплексних чисел мають місце співвідношення:

§ ;

§ , якщо ;

§ для будь-якого цілого числа п (при за умови, що ).

Якщо r – деяке додатне дійсне число, то на основі означення модуля комплексного числа одержуємо (див. рис. 5.2):

1) множина всіх чисел z, для яких , являє собою коло радіусом r з центром у початку координат;

2) множина всіх чисел z, для яких , являє собою круг радіусом r з центром у початку координат;

3)
множина всіх чисел z, для яких , являє собою зовнішню частину круга радіусом r з центром у початку координат.

Приклад. 1.8. Визначити на комплексній площині області, що задаються умовами: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

… 1) розв’язком є коло радіусу 5 з центром у початку координат;

2) розв’язком є круг радіусу 6 з центром у початку координат;

3) розв’язком є круг радіусу 3 з центром у точці ;

4) розв’язком є кільце, обмежене колами з радіусами 6 і 7 з центром в точці . †

Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливають наступні властивості:

1.Довжина вектора дорівнює .

2. Точки і симетричні відповідно дійсної осі (рис. 1.3).

3.Точки z і симетричні відносно точки .

4.Число геометрично відображається як вектор, який побудовано за правилом додавання векторів, які відповідають точкам і (рис. 1.4).

5.Відстань між точками і дорівнює (рис. 1.5).

Кут між дійсною віссю і вектором , що відраховується від додатного напрямку дійсної осі, називається аргументом комплексного числа (див. рис. 1.1). Якщо відлік ведеться проти руху годинникової стрілки, то величина кута вважається додатною, а якщо за рухом стрілки – від’ємною.

Аргумент комплексного числа записується так:

або (1.5)

Для числа аргумент не визначений.

Аргумент комплексного числа визначається неоднозначно: будь-яке комплексне число має нескінчену множину аргументів, які відрізняються один від одного на число, кратне . Найменше за абсолютною величиною значення аргументу із проміжку називається головним значенням аргументу.

Із означень тригонометричних функцій випливає, що якщо , то мають місце рівності:

(1.6)

Справедливе і обернене твердження, тобто якщо виконуються обидві рівності (5.6), то . Таким чином, всі значення аргументу можна знайти, розв’язуючи разом рівняння (1.6).

Алгоритм знаходження значення аргументу комплексного числа : визначити, в якій чверті знаходиться точка (використати геометричну інтерпретацію числа ); знайти в цій чверті кут , розв’язавши одне із рівнянь (5.6) або рівняння