ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Алгебраїчна форма запису комплексних чисел та дії над комплексними числами, записаними у цій формі

12 3 4

ТЕМА 1. Комплексні числа та дії над ними

Введення поняття комплексного числа

При розв’язанні квадратних алгебраїчних рівнянь виникла проблема тоді, коли дискримінант виявлявся числом від’ємним, і стало зрозуміло, що дуже корисно і зручно не ігнорувати символ і вирази (де ), а оперувати з ними (чисто формально!), як із звичайними числами. А саме, якщо позначити та оперувати з виразами за звичайними правилами

(1.1)

то при цьому виконуються всі звичайні властивості додавання та множення. Отже, з цієї точки зору вирази мають таке саме право називатися числами, як вираз (де ) – раціональними чис

лами, або нескінченні десяткові дроби – дійсними числами.

Якщо вважати, що – це просто дійсне число а, що і – це , то у відповідності з (5.1) і, отже, вираз утворюється з та шляхом заданого в (1.1) алгоритму множення та додавання, тобто .

Отже, будь-яке квадратне рівняння виду , де р і q – дійсні числа, має два корені, тобто:

§ якщо дискримінант , то дане рівняння має два різних дійсних кореня ;

§ якщо дискримінант , то дане рівняння має два рівних дійсних кореня ;

§ якщо дискримінант , то дане рівняння має два різних комплексних кореня

Приклади. 1.1. Розв’язати рівняння .

… Знаходимо дискримінант .

За останньою формулою маємо , або та . †

1.2. Розв’язати рівняння .

… Знаходимо дискримінант , отже . †

Твердження відоме під назвою „основна теорема алгебри”, доведення якої було дане Гаусом в кінці XVIII ст., має місце для алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня з довільними комплексними коефіцієнтами.

Таким чином, ми отримуємо своєрідне розширення множини дійсних чисел, породжене приєднанням до R уявного елементу , тобто такого, що .

Алгебраїчна форма запису комплексних чисел та дії над комплексними числами, записаними у цій формі

Комплексними числаминазиваються вирази виду , де а і b – дійсні числа, а число і, що визначається рівністю , називається уявною одиницею, причому дійсне число а називається дійсною частиною комплексного числа і позначається , число – уявною частиною і позначається , а дійсне число b – коефіцієнтом уявної частини. Множина комплексних чисел позначається С (від Complex).

Два комплексні числа і називаються рівними, якщо їхні дійсні та уявні частини відповідно рівні, тобто коли і .

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин доданків, а коефіцієнт уявної частини – відповідно сумі коефіцієнтів уявної частини доданків, тобто .

Добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число, дійсна частина якого дорівнює , а уявна – .

Запис комплексного числа у вигляді називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Будь-яке дійсне число а міститься в множині комплексних чисел, тому що його можна записати так: . Числа 0, 1 та і записуються відповідно у вигляді , і . При комплексне число перетворюється в чисто уявне число .

Комплексні числа вигляду і називаються протилежними.

Комплексне число називається спряженим з числом і позначається , тобто , але до числа також можна знайти спряжене число, яким буде число , тому можна вести мову про пару спряжених чисел. Наприклад, до числа протилежним є число , а спряженим .

12 3 4