ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Мішаний добуток трьох векторів.

Якщо векторний добуток двох векторів помножити скалярно на третій вектор , то такий добуток трьох векторів називається мішаним (векторно-скалярним) і позначається так:

=

Мішаний добуток має просте геометричне тлумачення – це скаляр, який за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних трьох векторах.

Якщо вектори , , утворюють праву трійку, то мішаний добуток є число додатне, що дорівнює зазначеному об’єму, а якщо трійка , , ‑ ліва, то мішаний добуток – число від’ємне, яке за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах.

Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулеві тоді, коли ці вектори компланарні, тобто умова компланарностітрьох векторів має вигляд:

Мішаний добуток не змінюється, якщо має місце переставлення співмножників за колом і змінює знак, якщо в такому переставленні порушено послідовність співмножників:

Тому мішаний добуток векторів , , іноді позначають простіше, написавши їх поряд у тій послідовності, в якій проводяться дії:

(49).

Помітимо, що якщо в мішаному добутку є два колінеарні вектори, то він дорівнює нулеві.

Приклад 1. Три вершини тетраедра знаходяться в точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, яка належить вісі Оу, якщо об’єм тетраедра дорівнює 3 куб. од.

Розв’язання:

Оскільки точка D належить вісі Оу, то її координати (0; у; 0). Об’єм тетраедра ABCD можна розглядати як об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на ребрах:

.

Розв’язуючи це рівняння, дістанемо, що отже .

Приклад 3. Довести, що чотири точки лежать в одній площині.

Розв’язання:

Для того, щоб довести, що чотири точки лежать в одній площині, достатньо довести, що три вектора, початком яких є деяка з даних чотирьох точок, а кінцями є інші три точки, лежать в одній площині, тобто, що ці три вектори компланарні. За спільний початок векторів виберемо точку А, тоді:

Вектори будуть компланарними тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулеві.

= ‑2+12‑8‑2=0.

Отже, одержали, що вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній площині.

Приклад 4. Задана піраміда з вершинами в точках А(1; 2; 3), В(‑2; 4; 1), С(7; 6; 3), D(4; ‑3; ‑1). Знайти:

а) довжину ребер ;

б) площу грані АВС;

в) кут між ребрами і ;

г) об’єм піраміди;

д) довжину висоти, опущеної на грань АВС.

Розв’язання:

а) Знайдемо вектори .

Знайдемо модулі цих векторів:

б) Площа грані АВС буде дорівнювати:

в) Кут між ребрами і знайдемо за формулою:

г) Об’єм піраміди обчислимо за формулою:

д) Довжину висоти h, опущеної на грань АВС, можна знайти, користуючись формулою:

звідки

Таким чином

.

ЩО ПОВИНЕН ЗНАТИ СТУДЕНТ

1. Поняття вектора.

2. Поняття одиничного і нульового вектора.

3. Модуль вектора, формула відстані між двома точками.

4. Поняття колінеарності векторів.

5. Лінійні операції над векторами.

6. Поняття проекції вектора на вісь.

7. Скалярний добуток векторів

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

1. На каком рисунке изображён вектор :

a) ; б) ; в) ; г) .

2. Два вектора называются коллинеарными, если:

a) они лежат в одной плоскости; б) они лежат в параллельных плоскостях; в) они лежат на параллельных прямых; г) они не лежат на параллельных прямых.

3. Укажите координату вектора , изображённого на рисунке

a) 1; б) 2; в) ; г) -1.

4. Какая формула задаёт длину вектора :

a) ; б) ; в) ; г) .

5. Найдите длину диагонали четырёхугольника , если , , , :

a) ; б) ; в) ; г) .

6. Составьте вектор , если , .

a) ; б) ; в) ; г) .

7. Скалярным произведением векторов и называется:

a) число , где и — длины векторов; б) число , где и — длины векторов ; в) вектор ; г) число , где и — длины векторов, — угол между векторами.

8. Найдите скалярное произведение векторов и , если , .

a) -12; б) 20; в) -10; г) 18.

9. Какими являются векторы и , если , , , :

a) ортогональными; б) коллинеарными; в) компланарными; г) равными.

10. Какие среди векторов , , , ортогональны:

a) и ; б) и ; в) и ; г) и .